Los tres sobres
Pruebas de selección para Estalmat 2008
En una mesa hay tres sobres marcados con las letras A, B y C. Los tres contienen una cantidad (entera) diferente de euros y no hay ninguno vacío, con la peculiaridad de que el sobre C es el que más euros tiene y el sobre A el que menos.
Ana, Beatriz y Carlos son tres hermanos "excelentes lógicos", que examinan cada uno el sobre marcado con su inicial.
Considera los siguientes casos:
a) Si el total de dinero en los tres sobres es de 10 euros, Ana mira el sobre A y dice: "Ya sé cuánto hay en cada sobre". ¿Podrías deducirlo tú también?
b) Si el total de dinero en los tres sobres es de 11 euros, Carlos mira el sobre C y dice: "Ya sé cuánto hay en cada sobre", y Ana mira el sobre A y dice "Yo también sé cuánto hay en cada sobre". Entonces, Beatriz, sin mirar, asegura saber cuánto hay en su sobre. ¿Podrías tú decir cuánto hay en cada sobre?
c) Si el total de dinero en los tres sobres es de 13 euros, Ana, después de mirar el contenido de su sobre, declara que no puede deducir el contenido de los otros sobres. Mira entonces Carlos el suyo y dice que él tampoco puede saberlo. Entonces, Beatriz examina el suyo y declara que tampoco ella puede deducirlo. ¿Cuánto dinero hay en el sobre B?
d) Si el total de dinero en los tres sobres es de 32 euros, ¿de cuántas maneras se pueden distribuir los 32 euros en los tres sobres de forma que en C haya más que en B y en B más que en A? Si Ana mira su sobre en primer lugar, ¿puede en algún caso averiguar el contenido de los otros dos sobres? Razona la respuesta.
Actualización (10/07/2008): Como curiosidad, he encontrado un fragmento de este problema en un libro muy recomendable (y anterior a la prueba de Estalmat). Ignoro si se utilizó de inspiración, se trata de "Las nueve cifras, el cambiante cero y otros divertimentos matemáticos", de Bernardo Recamán. Pertenece a una colección de libros sobre problemas matemáticos que debo comentar aquí un día de estos. La mayoría de los libros de la colección son interesantes, pero éste me está gustando especialmente. El autor cita que el problema lo encontró originalmente en el examen para estudiantes talentosos AHSME, American High School Mathematics Examinations, de 1998.
1 comentario:
a) las posibles combinaciones son: 1-2-7, 1-3-6, 1-4-5,2-3-5. Si A conoce la terna es 2-3-5, si fuera 1, existen 3 posibilidades y no podría determinarlo.
b) las posibles combinaciones son: 1-2-8, 1-3-7, 1-4-6, 2-3-6, 2-4-5. Si C lo sabe, no puede ser 6 (2 posibilidades), si A lo sabe no puede ser 1 (2 posibilidades), luego es 2-4-5.
c) las posibles combinaciones son: 1-2-10, 1-3-9, 1-4-8, 1-5-7, 2-3-8, 2-4-7, 2-5-6, 3-4-6. Si A no lo sabe, no puede ser 3, si C no lo sabe, no puede ser 9, 10 ni la combinacion que queda en 6 (2-5-6). solo queda 1-5-7, 2-3-8 y si B no lo sabe es porque queda el doblete 1-4-8, 2-4-7 y no saben cual de las dos es, luego la respuesta es 4.
d)71 (14 con el 1 para A, 12 con el 2 para A, 11 con el 3 para A, 9 con el 4 para A, 8 con el 5 para A, 6 con el 6 para A, 5 con el 7 para A, 3 con el 8, 2 con el 9 y 1 con el 10). El único caso es 10-11-12, en los demás la solución es indeterminada.
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