domingo, 7 de abril de 2013

Saludos en el patio

Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)

En el patio de un Instituto hay 70 chicos alineados en 7 filas y 10 columnas. Cada uno da la
mano a todos los que están a su alrededor -por ejemplo, el que está situado en una esquina
daría la mano a tres compañeros- ¿Cuántos saludos hubo en total?

Y en el caso de que formasen m filas y n columnas, ¿cuántos saludos habría en total?

Solución:

23 comentarios:

Pablo Sussi dijo...

los de las esquinas saludan a 3, como son 4 hay 12 saludos. Los restantes de las primeras filas y columnas tienen 5 vecinos; son 2*8+2*5=26, por lo que alli hay 130 saludos. Los del medio son forman un cuadrado de 8*5=40 y tienen 8 vecinos cada uno, porlo tanto hay 320 saludos. Total 12+130+320 = 462. Pero alli, cada saludo estaría contado 2 veces por lo tanto hay 231
Para m*n podemos hacer el mismo cálculo, ya dividiendo por 2 en cada tipo de formacion
a)esquinas 3*4/2=6
b)restantes de las primeras filas y columnas: (m+n-4)*5
c)del medio (m-2)(n-2)4= 4mn-2(m+n)+4
total = 4mn-3(m+n)+2
Comprobamos para 10 y 7, tenemos
4*10*7-3*17+2
280-51+2= 231 seuo

Educadores por Lara dijo...

Este es un muy buen medio para difundir las matemáticas. Para que las personas puedan tener una mayor oportunidad de entender el problema y poder resolverlo se debe hacer un buen planteamiento del mismo, creo que este enunciado se puede mejorar aún más, para entender la pregunta. Por ejemplo el mismo caso del primero de la primera fila (a11)saluda a su vecino de la derecha (a12), pero este vecino saluda a su vez a su vecino de la izquierda (a11). osea ¿ se vale repetir un saludo?

Educadores por Lara dijo...

Este es un muy buen medio para difundir las matemáticas. Para que las personas puedan tener una mayor oportunidad de entender el problema y poder resolverlo se debe hacer un buen planteamiento del mismo, creo que este enunciado se puede mejorar aún más, para entender la pregunta. Por ejemplo el mismo caso del primero de la primera fila (a11)saluda a su vecino de la derecha (a12), pero este vecino saluda a su vez a su vecino de la izquierda (a11). osea ¿ se vale repetir un saludo?

Proble Mático dijo...

La idea es que cuando dos personas se saludan es recíprocamente, es cierto que en el contexto del problema es interpretable, aunque creo que la mayoría de las personas entenderían así la situación.
Es difícil incluir toda la información relevante en un problema, sin dar pistas de la solución.

José María López López dijo...

Chemmss
Tras observar el planteamiento he llegado al resultado de que el numero de saludos es de 231 pues los que estan al comienzo de cada fila saludan a 3, los que estan en el medio saludan a 4, y los que estan al final saludan a 2, a excepcion de en la ultima fila que todos saludan solamente a 1 menos el ultimo que no saluda a nadie o mejor dicho sus saludos ya han sido contabilizados.

Para ello he elavorado una formula que sera valida para cualquier numero de filas y componentes de cada fila siempre y cuando las filas sean igual o mas de 3 y sus componentes sean de un minimo de 2.

[[5+[4(F-2)]]*(N-1)]+(F-1)

Siendo F el numero de filas y
Siendo N el numero de personas de cada fila.

Luis Pérez Hein dijo...

2-3(m+n)+4nm, así de simple.

Para el problema propuesto la solución es 231.
2-51+280=231

Luis Pérez Hein dijo...

2-3(m+n)+4nm, así de simple.

Para el problema propuesto la solución es 231.
2-51+280=231

Luis Pérez Hein dijo...

2-3(m+n)+4nm, así de simple.

Para el problema propuesto la solución es 231.
2-51+280=231

Anónimo dijo...

son 276 saludos veamos la primera fila saluda 10.5 menos cuatro de las orillas si sacamos la primera la segunda queda en la misma situacion 10*5-4=46 consideramos hasta la penultima es decir solo 6 filas 6*46=

Jorge dijo...

la formula seria (C*5-4)*(F-1)

Jorge dijo...

perdon la formula seria (C/2*5-4)*(F-1)

Justo dijo...

Son 138 saludos formula (C/2*5-2)*(F-1)

Alejandro Pérez Suárez dijo...

son 231, primero podríamos calcular cuantos hay en la 1º, y le sumamos las siguientes filas, fórmula inventada por mi:
((n-1)*6-(n-2))*f-((n-1)(f-1))
n=niños en la linea superior (primera).
f:niños en la primera columna -1
ahora explico mi fórmula:
el primer corchete entero calcula cuántos saludos hay en la 1º sucesión de cuadros seguidos, le restamos 1 a n para tener el número de cuadros, y cada uno será un L del cuadro, multiplicamos por 6 porque son la cantidad de saludos que hay en cuadro y le restamos n-2 porque son los saludos que se repiten, los multiplicamos por las siguientes sucesiones iguales de cuadro que van a ver que es f y le restamos las que se repiten que es n-1*f-1

y nos da 231 que es la solucion
operacion:
((10-1)*6-(10-2))*6-((10-1)(6-1))=
(54-8)*6-45=
46*6-45=
276-45=
231

Senderista de las Mates dijo...

Alejandro está en lo cierto, aunque yo tengo otra fórmula distinta. Me basé en formar cuadrados con sus diagonales entre cada 4 niños, y observando bien, podemos fijarnos que llegamos a esta conclusión. Llamando:
m = filas
n = columnas

{6+5*(n-2)}+{m-2*[5+4*(n-2)]}

Anónimo dijo...

otra formula
(f-1)c+3(c-1)(f-1)+(c-1)

Jorge L. de oz dijo...

Considerando que los saludos son reciprocos o sea que si para el conteo cuenta que persona A saluda a persona B entonces no cuenta el saludo que hace persona B a persona A La formula seria la siguiente:
3(mn - m - n) + 2
siendo
m = columnas
n = filas

para n=7 y m = 10 tenemos que son 161 saludos

Anónimo dijo...

mentira son 87 saludos en total

Anónimo dijo...

Al estar acomodados en filas y columnas alineadas, se puede contar el número de conexiones entre elementos por filas, por columnas y el número de cuadros:
* Núm. saludos por fila = m(n-1)
* Núm. saludos por col. = n(m-1)
* Núm. saludos diagonales =
= núm. cuadros = 2(m-1)(n-1)

Así, el número de saludos, que es la suma de las tres cuentas anteriores, es: 4mn-3(m+n)+2

En particular, si m=7 y n=10 entonces hay 231 saludos.

Nanu Larroude dijo...

M= Filas
N=Columnas
X= Saludos

X= (M-1).(N-1).2+M.(N-1)+N.(M-1)

X= (7-1).(10-1).2+7.(10-1)+10.(7-1)

X= 6.9.2+7.9+10.6

X= 108+63+60

X=231

Juan dijo...

Pablo Sussi yo llegué a la misma formula, pero me resulta raro que para una formación de 0 filas y 0 columnas (n=0 y m=0), donde obviamente no hay saludos, la formula prediga dos saludos...

Anónimo dijo...

sume los saludos "horizontales" y lo multiplique por la cantidad de filas, sume los saludos "verticales" y lo multiplique por la cantidad de columnas, luego sume los "oblicuos" y lo mult por la cantidad de filas. quedo asi:
(6x10)+[2(6x9)]+(9x7)=231
y m*n seria
(m-1)n+2(m-1)(n-1)+(n-1)m
saludos! walter

Anónimo dijo...

sume los saludos "horizontales" y lo multiplique por la cantidad de filas, sume los saludos "verticales" y lo multiplique por la cantidad de columnas, luego sume los "oblicuos" y lo mult por la cantidad de filas. quedo asi:
(6x10)+[2(6x9)]+(9x7)=231
y m*n seria
(m-1)n+2(m-1)(n-1)+(n-1)m
saludos! walter

Anónimo dijo...

Mi respuesta a resolver este problema sería, calcular cuantos saludan los de las esquinas, los de los lados y finalmente los que se encuentran en el centro y así poder sumarlos todos.
Esquinas saludan 3 cada uno (3*4=12), los lados saludan 5 cada uno y son 8 verticales y 5 horizontales o en la forma que se quieran acomodar. (26*5=130) y los del centro (40*8=320) y 12+130+320=462. R/ Hubieron 462 saludos.