domingo, 15 de septiembre de 2013

Multiplicación grande, resultado pequeño

Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13

Demuestra que el producto de los dos mil trece primeros términos de la sucesión an = 1 + 1/n3 no llega a valer 3.

Solución

5 comentarios:

Ezequiel Parenti dijo...

Con 2013 términos da 2.4281894923
Con infinitos términos da 2.4281897920668194
(1+1^-3)*(1+2^-3) da 2.25
(1+1^-3)*(1+2^-3)^2 da 2.53125
Así que desde el segundo término se sabe que el número está entre 2.25 y 2.53125, y eso es menor que 3.

Ezequiel Parenti dijo...

Si llegó el comentario anterior... quiero decir que me ayudé con javascript. function a(c){var b=1;for(var i=1;i<=c;i++){b*=(1+Math.pow(i,-3))};return b};a(2013)

a(2013) = 2.4281894926

Ezequiel Parenti dijo...

Bueno, me acabo de enterar que era para tus alumnos. No apruebes mis comentarios. No soy tu alumno. Hasta nunca.

Proble Mático dijo...

Bueno, era para mis alumnos, pero una vez puesto en Internet, cualquiera puede leerlo, publicar sus comentarios y tratar de conseguirlo.

Sólo tengo dos objeciones.
En primer lugar, en las pruebas no te dejan usar calculadora, y menos ordenador, y en segundo lugar, ¿cómo sabes si los errores acumulados en el redondeo (al fin y al cabo, estás multiplicando 2013 números periódicos) no puede variar (y mucho) el resultado?

Ezequiel Parenti dijo...

No entendí bien la pregunta, pero la solución la dije.
a(1)*a(2)=2.25 y a(1)*a(2)= 2.53125
El resultado es entre 2.25 y 2.53125, es decir, menor a 3... Pero si entro más adentro. Voy a aproximarme más todavía a la solución.
a(1)*a(2)*a(3)=189/81 y a(1)*a(2)*a(3)^2=196/81
La solución está entre 189/81 y 196/81, y es menor que 3=243/81... Que sería entre 2.(3) y 2.(419753086).
El secreto está en poner como mínimo el producto normal y como máximo, lo mismo pero el último al cuadrado.