Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010
Calcula la altura del ángulo recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sobre cada lado de un triángulo se tienen tres semicircunferencias cuyas longitudes son 3π centímetros, 4π centímetros y 5π centímetros.
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1 comentario:
Tenemos un triangulo rectángulo definido por 3 semicircunferencias, para hallar los lados del mismo calculamos los diámetros en función de las semicircunferencias:
3pi•2/pi = 6pi/pi = 6
4pi•2/pi = 8pi/pi = 8
5pi•2/pi = 10pi/pi = 10
Evidentemente 10 es el lado de la hipotenusa, por lo que tenemos la base formada por el segmento AB de longitud 10. Proyectando el punto C sobre el segmento AB obtenemos el punto D, creando el segmento CD obtenemos dos triángulos rectángulos, ambos de altura h.
Sabemos que sus otros catetos serán respectivamente 10-x y x. Al conocer las hipotenusas tenemos que:
6^2=h^2+(10-x)^2 y que 8^2=h^2+x^2
Aislamos x en ambas ecuaciones:
36-h^2=(10-x)^2
(36-h^2)^(1/2)=10-x
x=10-(36-h^2)^(1/2)
64=h^2+x^2
x=(64-h^2)^(1/2)
Resolvemos por igualación:
10-(36-h^2)^(1/2) = (64-h^2)^(1/2)
100-20(36-h^2)^(1/2))+36-h^2 = 64-h^2
-20(36-h^2)^(1/2)) = 64-h^2+h^2-36-100
-20(36-h^2)^(1/2)) = -72
(36-h^2)^(1/2)) = 3.6
36-h^2 = 12,96
-h^2 = 12,96-30
-h^2 = -23,04
h^2 = 23,04
h = (23,04)^(1/2)
h = 4,8
Ahora calculamos el valor de x en las ecuaciones anteriores:
x = 10-(36-4,8^2)^(1/2) = 10-(36-23,04) ^(1/2) = 10-(12,96) ^(1/2) = 10-3,6 = 6,4
x = (64-4,8^2)^(1/2) = (64-23,04)^(1/2) = (40,96)^(1/2) = 6,4
Finalmente aplicamos los valores de x y h a las ecuaciones originales y comprobamos si son solución del sistema:
6^2 = 4,8^2+(10-6,4)^2
36 = 4,8^2+3,6^2
36 = 23,04+12,96
36 = 36
64 = 4,8^2+6,4^2
64 = 23,04+40,96
64 = 64
Efectivamente la altura del triángulo será 4,8u
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