sábado, 10 de julio de 2010

La altura misteriosa

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Calcula la altura del ángulo recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sobre cada lado de un triángulo se tienen tres semicircunferencias cuyas longitudes son 3π centímetros, 4π centímetros y 5π centímetros.

Solución

1 comentario:

David dijo...

Tenemos un triangulo rectángulo definido por 3 semicircunferencias, para hallar los lados del mismo calculamos los diámetros en función de las semicircunferencias:

3pi•2/pi = 6pi/pi = 6
4pi•2/pi = 8pi/pi = 8
5pi•2/pi = 10pi/pi = 10

Evidentemente 10 es el lado de la hipotenusa, por lo que tenemos la base formada por el segmento AB de longitud 10. Proyectando el punto C sobre el segmento AB obtenemos el punto D, creando el segmento CD obtenemos dos triángulos rectángulos, ambos de altura h.

Sabemos que sus otros catetos serán respectivamente 10-x y x. Al conocer las hipotenusas tenemos que:

6^2=h^2+(10-x)^2 y que 8^2=h^2+x^2

Aislamos x en ambas ecuaciones:

36-h^2=(10-x)^2
(36-h^2)^(1/2)=10-x
x=10-(36-h^2)^(1/2)

64=h^2+x^2
x=(64-h^2)^(1/2)

Resolvemos por igualación:

10-(36-h^2)^(1/2) = (64-h^2)^(1/2)
100-20(36-h^2)^(1/2))+36-h^2 = 64-h^2
-20(36-h^2)^(1/2)) = 64-h^2+h^2-36-100
-20(36-h^2)^(1/2)) = -72
(36-h^2)^(1/2)) = 3.6
36-h^2 = 12,96
-h^2 = 12,96-30
-h^2 = -23,04
h^2 = 23,04
h = (23,04)^(1/2)
h = 4,8

Ahora calculamos el valor de x en las ecuaciones anteriores:

x = 10-(36-4,8^2)^(1/2) = 10-(36-23,04) ^(1/2) = 10-(12,96) ^(1/2) = 10-3,6 = 6,4
x = (64-4,8^2)^(1/2) = (64-23,04)^(1/2) = (40,96)^(1/2) = 6,4

Finalmente aplicamos los valores de x y h a las ecuaciones originales y comprobamos si son solución del sistema:

6^2 = 4,8^2+(10-6,4)^2
36 = 4,8^2+3,6^2
36 = 23,04+12,96
36 = 36

64 = 4,8^2+6,4^2
64 = 23,04+40,96
64 = 64

Efectivamente la altura del triángulo será 4,8u