domingo, 18 de julio de 2010

Plantando árboles

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Un jardinero tiene que plantar en una fila a lo largo de un camino tres robles, cuatro encinas y cinco hayas.

Planta los arboles al azar; siendo la probabilidad de plantar un árbol u otro la misma.

Halla la probabilidad de que, una vez plantados todos los arboles, no haya dos hayas consecutivas.

Solución

1 comentario:

David dijo...

Sabemos que la condición es que no hayan dos consecutivas, así que contamos que 2 ya lo son, por lo que tenemos 3 hayas para 9 posiciones:

9!/3! = 60480 posibilidades

Esta distribución consecutiva se puede dar un total de 12 veces, según que dos casillas consecutivas usemos de pivote:

60480 • 12 = 725760 posibilidades

Como tenemos 5 hayas entre 12 arboles, las posibilidades totales son:

12!/5! = 3991680

Y la probabilidad concreta

725760/3991680 = 0,1818

Hay un 18,18% de posibilidades de plantar dos seguidas y un 81,81% de no hacerlo.