jueves, 29 de julio de 2010

El gran producto

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

¿Podrías decir en qué cifra acaba el producto 327653*779578?

(Por si no se ve bien, se trata de 3 elevado a 27653 por 7 elevado a 79578)

Solución

4 comentarios:

Anónimo dijo...

Hola!

No sé si quieres las soluciones, pero como moderas los comentarios aquí va lo que creo

Si calculamos las primeras potencias de 7: 1, 7, 49, 343, 2401, ...
Las primeras potencias de 3: 1, 3, 9, 27, 81, ...

En los dos casos se repite la ultima cifra a partir de la cuarta potencia. De esto podemos sacar que la ultima cifra de 7^n es
1 si n mod 4 = 0,
7 si n mod 4 = 1,
9 si n mod 4 = 2 y
3 si n mod 4 = 3

Podemos concluir con el mismo razonamiento la ultima cifra de 3^n

Sabiendo la ultima cifra de cada una de las potencias no queda más que multiplicarlas para obtener la última de esa expresión ;)

Saludos y enhorabuena por el gran blog, si se fomentase así en más sitios habría mejores resultados :D

Lluís Usó dijo...

Dues solucions:
a)3 i 7 són imparells, el producte de qualsevol nombre de vegades un per l'altre també, per tant la seua representació binària acaba en 1.

b) Per a aquells que no els agrade la a), ho farem en decimal:

La darrera xifra en una multiplicació depén només de les darreres xifres dels multiplicands (òbvi, per tant sense dem). Per tant la darrera xifra en una successió de potències de 3, o de 7, serà periòdica, efectivament:

3, 9, 27,81,243... i segueix repetint 3,9,7,1...
7,49... 7,9,3,1

per tant només hem de calcular 27653 mod4 = 1
79578 mod4 = 2,
per tant les potències de 3 acaben en 3, i les de 7 en 9. 3·9=27, per tant acaba en 7.

GaStOn dijo...

7, esta bien? XD

Alex dijo...

3^27653 * 7^79578 = 3^27653 * 7^(27653+79578-27653) = 3^27653 * 7^27653 * 7^51925 = (3*7)^27653 * 7^51925 = 21^27653 * 7^51925

21 multiplicado por si mismo el cualquier número de veces siempre tendrá la última cifra acabada en 1.

Así que basta con fijarse en que cifra acaba 7^51925.

Las últimas cifras de ir multiplicando por 7 sucesivamente son: 7, 9 (de 7*7=49), 3 (de 7*9=63), 1 (de 7*3=21), 7 (de 7*1=7), 7, 9, 1, 3, 7, 9, 1, 3, ... (se repiten cada 4 veces)

Así que tomo el resto de dividir 51925 entre 4, que es 1

La última cifra de 7^51925 es la misma que 7^(51925 % 4) , que es 7.

Quizás me haya equivocado en las operaciones, pero el razonamiento era ese.

Otra manera de hacer los cálculos con el mismo razonamiento:

- Las últimas cifras de ir multiplicando por 7 sucesivamente son: 7, 9 (de 7*7=49), 3 (de 7*9=63), 1 (de 7*3=21), 7 (de 7*1=7), 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... (se repiten cada 4 veces)

- Las últimas cifras de ir multiplicando por 3 sucesivamente son: 3, 9 (de 3*3=9), 7 (de 3*9=27), 1 (de 3*7=21), 3 (de 3*1=3), 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ... (se repiten cada 4 veces)

- Sea % la operación de obtener el resto, entonces 3^27653 * 7^79578 tiene la misma última cifra que 3^(27653 % 4) * 7^(79578 % 4) = 3^1 * 7^2 = 147 . ACABARÁ EN 7