Tablero de 16
Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010
Supongamos que tenemos un tablero con dieciséis casillas dispuestas en cuatro filas y cuatro columnas.
(a) Prueba que se pueden colocar siete fichas, nunca dos en la misma casilla, de forma que al eliminar dos filas y dos columnas cualesquiera, siempre quede alguna ficha sin eliminar.
(b) Prueba que si se colocan seis fichas, nunca dos en la misma casilla, siempre se puede eliminar dos filas y dos columnas de forma que todas las fichas sean eliminadas.
2 comentarios:
en l'apartat a) només hem de trobar una col.locació que complixca el requisit demanat. Per exemple, si les posem en les caselles: 11, 13, 22, 31,33,42,44 (on el primer digit indica fila, i el segon columna).
en el b), podem argumentar, sense pèrdua de generalitat per a columnes:
Si hem de posar sis fitxes en quatre columnes, i no les podem dividir, és evident que hi haurà dues columnes amb dues fitxes (o una amb més de 2, però aquest cas és trivial), aleshore s'eliminen aquestes, i les files on estiguen les altres dues.
La parte b es muy fácil, siempre va haber 2 columnas que tengan un total de 4 o más puntos (por palomar). Elimino esas dos columnas y luego elimino las respectivas filas de los puntos restantes.
El otro es más difícil de explicar así que solo doy el ejemplo: usamos las coordenadas 11, 12, 21, 23, 32, 33, 44. Eliminando dos filas y/o columnas cualesquiera van a quedar al menos tres puntos que no coinciden en ninguna coordenada (la idea es hacer coincidir, en 6 de los puntos, cada coordenada solo 1 vez y dejar un punto aislado)
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