Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009
Zona sombreada
En un rectángulo de 30 por 10 centímetros se marca el punto medio del lado superior, B, y los dos del lado inferior, A y C, que dividen el lado en tres segmentos iguales. ¿Puedes calcular el área de la zona sombreada?
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2 comentarios:
Utilizando que los dos triángulos no sombreados, contiguos al sombreado, son semejantes, con razón de semejanza 1'5, se obtiene fácilmente que el área es 30 centímetros cuadrados.
Como de geometría estoy un poco escaso lo voy a analizar, convirtiendo los segmentos significativos en rectas en R2.
En primer lugar voy a reflejar el esquema en el eje vertical e incuirlo en un sistema cartesiano, con el origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda del triángulo principal:
B D
/\ /
/ X
/ / \
A C
según el enunciado las coordenadas de los puntos implicados serían:
A(0,0)
B(5,10)
C(10,0)
D(20,10)
Para calcular la pendiente de la recta, calculamos la TVM de cada uno de los segmentos:
TVM(AB)=(10-0)/(5-0)=10/5=2
TVM(BC)=(0-10)/(10-5)=-10/5=-2
TVM(AD)=(10-0)/(20-0)=10/20=1/2
Ahora podemos aplicar la formula del punto-pendiente:
rAB:y-0=2(x-0):y=2x
rBC:y-10=2(x-5):y=-2x+20
rAD:y-0=1/2(x-0):y=x/2
Todavía necesitamos saber el valor común de x para rBC y rAD:
-2x+20=x/2
-4x+40=x
5x=40
x=40/5=8
El área que buscamos es la comprendida entre rAB y rAD entre x=0 y x=5, más el área comprendida entre rBC y rAD entre x=5 y x=8
A=INT,0,5(2x-x/2)+INT,5,8(-2x+20-(x/2))
A=INT,0,5(3x/2)+INT,5,8(-(5x/2)+20)
A=[(3x^2)/4]0,5,+[((-5x^2)/4)+20x]5,8,
A=(75/4)+(80-(275/4))=30cms^2
El esquema y el desarrollo podrían ser mejores, pero no me aclaro con el blogger...
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