domingo, 7 de noviembre de 2010

Los científicos

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Los 16 espacios

Los 16 espacios

Cuatro matemáticos de cuatro generaciones (abuelo, padre, hijo y nieto) se reúnen en un encuentro científico con cuatro físicos, cuatro químicos y cuatro biólogos, todos ellos con la misma relación de parentesco.

Como los científicos son tan peculiares, quieren sentarse en 16 pupitres que forman un cuadrado, de manera que en cada fila, en cada columna y en cada diagonal haya un abuelo, un padre, un hijo y un nieto, además de un representante de cada rama científica.

¿Puedes decirle a cada uno cómo ha de sentarse?

Solución

9 comentarios:

YING dijo...

Puede ser la solucion?
---------------------
|AQ|NF|HM|PB|
---------------------
|PM|HB|NQ|AF|
---------------------
|NB|AM|PF|HQ|
---------------------
|HF|PQ|AB|NM|
---------------------
A=Abuelo P=Padre H=Hijo N=Nieto
M=Mate F=Fisico Q=Quimico B=Bio

Proble Mático dijo...

¡Qué velocidad en encontrar una solución!
¿Habrá más? ¿Se puede explicar el método?

Lluís Usó dijo...

Si entenem el resultat com una matriu de 4x4, a(i,j), on i representa el parentiu, i j la ciència (evidentment la bijecció entre {1,2,3,4} i les caracteristiques no és única, i n'hi ha exactament 4!), resulta òbvi (pel fet que les dues caracteristiques són independents que la matriu ha de ser simètrica (A^t=A), d'on es deriva que la diagonal principal conté els a(i,i), i els altres queden fixats inequivocament fins a simetria.

Lluís Usó dijo...

NB: amb simètrica, volia dir que la reflexió respecte a la diagonal principal hauria d'invertir l'ordre dels index, és a dir, a(i,j)->a(j,i)

i amb igualtat (transposada igual a la matriu), volia dir que pertanyia a la mateixa classe d'equivalència (matrius que representen una forma vàlida d'ordenar els 16 científics excèntrics...)

David dijo...

Podemos asignar un valor numérico a cada condición:

4=Abuelo 3=Padre 2=Hijo 1=Nieto
10=Mate 20=Fisico 30=Quimico 40=Bio

Así tenemos que El abuelo biólogo "vale" 44, el padre físico 23 o el nieto metemático 11...

Como la condición es que en cada fila,columna y diagonal haya uno de cada, la suma media será:
1+2+3+4+10+20+30+40=110

Por lo que tenemos un cuadrado diabólico de constante mágica 110

Ahora construimos un cuadrado mágico de orden cuatro por ejemplo con el método de las diagonales, en lugar de colocando números consecutivos usamos 11,12,13,14,21,22,...,44

Según la teoría hay 83 disposiciones que cumplen las condiciones, contando reflexiones y rotaciones.



También podríamos haberlo resuelto usando 0,1,2,3 simplificando los cálculos en el sistema ternario, tendríamos 0,1,2,3,10,11,...,33, pero visualmente se entiende mejor forzando números de dos guarísmos...

Anónimo dijo...

Sería más fácil si lo haces siguiendo un patrón de números en vez de de letras, como un sudoku, en el que puedes alternarlos números de muchas formas,
Estos son 2 de las guías:
1234
3412
4321
2143


1234
4321
2143
3412

Con ellos podrías obtener hasta 32 posibilidades con lo de los padres, abuelos hijos... y otras 32 con lo de las materias: matematicos, fisicos... Como un sudoku.

Anónimo dijo...

Es más fácil si rellenas las letras como números y lo rellenas como un sudoku.
Puedes obtener una guía de números y utilizarla con ambos datos.
La guía es:
1234
3412
4321
2143

A esta guía le puedes añadir otras derivadas: Intercambiando la posición de las filas de números (La primera por la tercera o la segunda por la cuarta, o ambas) Sus lineas al contrario. Ej 1234-4321 y sus lados ya que cada lado se puede usar como inicio, ¡por que es un cuadrado!

Oriolano dijo...

Es más fácil si se realiza como si fuera un sudoku cambiando las letras por números y alternando sus posicónes siguiendo una guía:
1234
3412
4321
2143

Esta guía posee numerosas derivadas:
- Por intercambio de líneas (la 1º por la 3º o la 2º por la 4º o ambas)
- Ya que es un cuadrado, se pueden alternar sus lados como caras base.
- Y por sus espejos inversos: 1234-4321.

Oriolano dijo...

Es más fácil si se realiza como si fuera un sudoku cambiando las letras por números y alternando sus posicónes siguiendo una guía:
1234
3412
4321
2143

Esta guía posee numerosas derivadas:
- Por intercambio de líneas (la 1º por la 3º o la 2º por la 4º o ambas)
- Ya que es un cuadrado, se pueden alternar sus lados como caras base.
- Y por sus espejos inversos: 1234-4321.