Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010
Vértices del cubo numerados
Hay un número escondido en cada vértice de este cubo. Los que se ven son falsos. Cada número falso es la media aritmética de los tres verdaderos más próximos.
Investiga cuáles son los números verdaderos.
Investiga propiedades numéricas que relacionen los verdaderos y los falsos.
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1 comentario:
Lo podemos resolver asignando una incógnita a cada uno de los vértices, los valores medios conocidos nos darán un sistema de 8 ecuaciones con 8 incógnitas.
5 = (b+c+e)/3 -> 15 = b+c+e
5 = (a+d+f)/3 -> 15 = a+d+f
6 = (a+d+g)/3 -> 18 = a+d+g
8 = (b+c+h)/3 -> 24 = b+c+h
7 = (a+f+g)/3 -> 21 = a+f+g
6 = (b+e+h)/3 -> 18 = b+e+h
8 = (c+e+h)/3 -> 24 = c+e+h
6 = (d+f+g)/3 -> 18 = d+f+g
Lo podemos escalonar muy fácilmente, por ejemplo:
15 = b+c+e
15 = a+d+f
18 = a+d+g
24 = b+c+h
18 = b+e+h
24 = c+e+h
15 = f+g
9 = g
y por sustitución regresiva hallamos el resto:
a = 6
b = 3
c = 9
d = 3
e = 3
f = 6
g = 9
h = 12
ahora comparamos los verdaderos y los falsos:
a = 6 # 5
b = 3 # 5
c = 9 # 6
d = 3 # 8
e = 3 # 7
f = 6 # 6
g = 9 # 8
h = 12 # 6
Resulta que la suma de los valores de las aristas es igual para los verdaderos y los falsos, 51 en ambos casos. (si hay alguna relación más compleja no soy capaz de hallarla...)
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