jueves, 11 de noviembre de 2010

Números ocultos

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Vértices del cubo numerados

Vértices del cubo numerados

Hay un número escondido en cada vértice de este cubo. Los que se ven son falsos. Cada número falso es la media aritmética de los tres verdaderos más próximos.

Investiga cuáles son los números verdaderos.

Investiga propiedades numéricas que relacionen los verdaderos y los falsos.

Solución

1 comentario:

David dijo...

Lo podemos resolver asignando una incógnita a cada uno de los vértices, los valores medios conocidos nos darán un sistema de 8 ecuaciones con 8 incógnitas.

5 = (b+c+e)/3 -> 15 = b+c+e
5 = (a+d+f)/3 -> 15 = a+d+f
6 = (a+d+g)/3 -> 18 = a+d+g
8 = (b+c+h)/3 -> 24 = b+c+h
7 = (a+f+g)/3 -> 21 = a+f+g
6 = (b+e+h)/3 -> 18 = b+e+h
8 = (c+e+h)/3 -> 24 = c+e+h
6 = (d+f+g)/3 -> 18 = d+f+g

Lo podemos escalonar muy fácilmente, por ejemplo:

15 = b+c+e
15 = a+d+f
18 = a+d+g
24 = b+c+h
18 = b+e+h
24 = c+e+h
15 = f+g
9 = g

y por sustitución regresiva hallamos el resto:

a = 6
b = 3
c = 9
d = 3
e = 3
f = 6
g = 9
h = 12

ahora comparamos los verdaderos y los falsos:

a = 6 # 5
b = 3 # 5
c = 9 # 6
d = 3 # 8
e = 3 # 7
f = 6 # 6
g = 9 # 8
h = 12 # 6

Resulta que la suma de los valores de las aristas es igual para los verdaderos y los falsos, 51 en ambos casos. (si hay alguna relación más compleja no soy capaz de hallarla...)