jueves, 25 de noviembre de 2010

Puntuaciones imposibles

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

En un videojuego ganas 3 puntos por cada pepita de oro que encuentras y 7 puntos por cada diamante.

¿Puedes conseguir una puntuación de 37 puntos?

¿Y de 38 puntos?

¿Qué puntuaciones son imposibles de conseguir?

Solución

1 comentario:

David dijo...

Para sumar 37 puntos podemos coger 3 pepitas y 4 diamantes:
3•3+4•7 = 9+28 = 37

Para sumar 38 cogemos 1 pepita y 5 diamantes
1•3+5•7 = 3+35

Podemos ver que trabajamos con sumas de múltiplos de 3 y de 7, como podemos reescribir las puntuaciones como “combos” por ejemplo diamante-pepita suman 10 o pepita-pepita-diamante 13, también trabajamos con sus combinaciones, por lo que son:

Sumas de múltiplos de 3,7 y múltiplos de cualquier combinación entre múltiplos de 3 y de 7.

Evidentemente 1 y 2 puntos son imposibles, así como 4 y 5...
6 = 3•2; Ok
7 = 7; Ok
8 = 8; No
9 = 3•3; Ok
10 = 3+7; Ok
11 = 11; No
12 = 3•4; Ok
...

Podemos puntuar cualquier número natural excepto 1,2,4,5,8,11