domingo, 14 de noviembre de 2010

Un difícil juego con polinomios

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Dado el polinomio P(X) = X4 + ⊡X3 + ⊡X2 + ⊡X + ⊡, en el que cada cuadrado ⊡ representa un hueco donde se colocar un coeficiente, se plantea el siguiente juego entre dos jugadores:

Alternativamente, el primer y el segundo jugador eligen un hueco vacío y colocan en él un entero no nulo hasta rellenar los cuatro huecos. Si el polinomio resultante tiene al menos dos raíces enteras gana el segundo jugador, en otro caso el ganador es el primero.

Prueba que, eligiendo la estrategia adecuada, el primer jugador siempre puede ganar.

Solución

2 comentarios:

David dijo...

Según la teoría de los números, cada raiz entera de un polinomio debe ser divisor del término independiente.

Si somos el primer jugador debemos colocar primero el término independiente, por ser el primer limitador pondremos un 1.

El jugador 2 colocará uno de los términos, en el mejor de los casos diferente del de mayor término.

En este momento, lo que debemos hacer es "desproporcionar la ecuación" a la razón 1 (solo pueden valer x=+-1)

Si el valor colocado por el jugador 2 es bajo lo ponemos alto en el mayor exponente disponible y viceversa, es muy sencillo visualmente.

Ahora el problema lo tiene el jugador 2, que deberá hallar un valor que sirva solo para x=+-1 en una ecuación de esta forma:
x^4+x^3+2031x^2+?x+1=0

Con un poco de vista podemos imposibilitar el último paso fácilmente.

Con un poco de torpeza podemos fallar el "descuadre" y que el jugador 2 (suponemos que un buen algebrista) de con el término que falta...

Faltaría asegurar el 100% de los casos, para un juego al mejor de 3 puntos bastaría, pero sin duda se puede generalizar un poco más, aunque no soy capaz

Proble Mático dijo...

Muy bien explicado, David. Analiza con un poco de cuidado los términos, porque lo has reducido a dos casos: x = 1 y x = -1.
Sólo tienes que elegir bien el último número, de forma que no sea uno de los dos valores que lo hacen posible...