Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010
Consideramos el número S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 9999...9999, siendo el último sumando un número escrito con 99 nueves en la base decimal habitual.
Determina la suma de los dígitos del número S.
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4 comentarios:
Bueno, todos los sumandos tiene la forma "10^n -1"
10^1 -1 = 9
10^2 -1 = 99
10^99 -1 = 999..999 (con 99 nueves)
Entonces, la suma quedará así:
(10^1-1)+(10^2-1)+...+(10^99-1)
Como hay 99 sumandos, al sumar todos los "-1" queda así:
10^1 + 10^2 + ... + 10^99 - 99
Al sumar las potencias de 10, queda de la siguiente manera:
1111...11110 - 99
Es decir, "99 unos" seguido de un cero, ya que cada potencia de 10 corresponde a un 1 en cada posición en el sistema decimal.
Al resolver la resta queda:
1111111...111111011
Un número de 100 dígitos compuesto por "97 unos" seguido de "011"
No sé si es la forma más sencilla de resolverlo, pero es la que se me ocurrió.
S:=Sum(k=1..99,10^k -1)=(10^100-901)/9
10^100-1, és un número (decimal) amb 99 9s, i en restar 900, queden tot 9s, excepte en les centenes on queda 0. en dividir per 9, allà on hi havia un 9, queda un 1, i el 0 es queda. per tant S en representació decimal, té 99 xifres, tot 1ns i un 0 en les centenes. Per tant la suma de totes les xifres és 98.
No sé per què, he copiat malament la solució del paper, 10^100 -1 té 100 xifres, pel que la suma final és 99, i no 98...
S=9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 9999...9999
S=9(1+11+111+1111+...1111...1111)
S=9(10^1-1+10^2-1+10^3-1+....+10^99-1)
S=9(10^1+10^2+...+10^99-99)
...S=9[(10^100-10)/9-99)
S=10^100-10-891
S=10^100-901
Este número esa compuesto de la siguiente manera:
97' 9 seguido de 1' 0 y finaliza en 2' 9 por lo que la suma de sus digitos sera (97+2)x9=891Ver más
Pablo 154
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