viernes, 17 de diciembre de 2010

Números en un triángulo

Pruebas de selección para Estalmat 2010

Números en un triángulo

Números en un triángulo

Se forma un triángulo con seis números, de forma que tres ocupan los vértices y otros tres los centros de los lados. En este problema, sólo conocemos los números que ocupan los centros de los lados, que figuran en el dibujo. Se trata del 17, el 10 y el 45.

1) Rellena con números enteros positivos los vértices del triángulo de forma que la suma de los tres números de cada lado del triángulo sea la misma.

2) ¿Puedes encontrar otra solución? ¿Cuál?

3) Si hubieras encontrado una solución ¿Cómo podrías encontrar otra? ¿Cuántas soluciones dierentes crees que existen?

4) Encuentra una solución en la que la suma de los lados sea exactamente 80.

Solución

4 comentarios:

David dijo...

1:)
La primera solución es la más evidente. Colocamos el valor del lado también en su ángulo opuesto, por lo que obtendremos tres sumas diferentes que incluyen 10,17 y 45. Obviamente sumarán lo mismo, es decir 72

2:) Por ejemplo restamos 1 a cada valor de la esquina, por lo que restaremos 2 a cada suma y obtendríamos 3 lineas de 70.

3: Podemos enmcontrar diferentes soluciones aumentando o disminuyendo los valores de las esquinas en igual cantidad.

De esta manera hay infinitas soluciones con números enteros positivos, desde la solución inicial "menos 9", porque el valor 10 quedaría en 1, hasta "más infinito"

4:)
Como ya sabemos al restar 1 a cada término restamos 2 al sumatorio, por lo que para totalizar 8 más, debemos sumar 4 a los términos:
(10+4)+45+(17+4)=14+45+21=80
10+(45+4)+(17+4)=10+49+21=80
(10+4)+(45+4)+17=14+49+17=80

Anónimo dijo...

Existen n numeros que pueden colocarse para dar esta solucion,
entre ellos:

36, 1 , 8
37, 2 , 9
38, 3 , 10

ya asi sucesivamente.

para que sume 80:
son:
49,14 y 21

Anónimo dijo...

las longitudes de un triángulo son enteros consecutivos el perimetro es de 69metros cuales son las longitudes de los lados. ?????

Anónimo dijo...

Muy sencillo. Si fuesen iguales, como tienen que sumar 69, cada uno valdría 23 (69/3).
Pero para que sean consecutivos, le quito uno a uno de los lados y se lo doy al otro, así valen 22, 23 y 24, y suman 69 metros