jueves, 30 de diciembre de 2010

Posiciones

Pruebas de selección para Estalmat 2010

En este problemas debes describir los métodos que usarías para encontrar las posiciones que se indican. Deberás acompañar la explicación de un dibujo.

a) Tenemos dos puntos A y B situados de cualquier forma. ¿Dónde puedes colocar un tercer punto C para que los tres formen un triángulo equilátero?

b) Ahora, nuestros dos puntos A y B son vértices de un triángulo isósceles. A partir de ellos, dibuja donde podrías poner el tercer punto C que forma con A y B el triángulo isósceles.

c) Ahora, si tenemos tres de los vértices de un paralelogramo A, B y C, situados en cualquier posición (pero no alineados, claro) ¿Dónde podemos situar exactamente el cuarto, D? Indica todas las posibilidades.

d) Por último, supongamos que te dan tres puntos que están situados en los vértices de un triángulo equilátero. Busca los lugares donde puedes colocar un cuarto punto P, para que los triángulos PAB, PBC y PCA sean isósceles. Ten en cuenta que hay muchas soluciones.

Solución

1 comentario:

David dijo...

a:) Podemos hacerlo con la ayuda de un compás. Trazamos dos círculos de radio |AB| y centros respectivos A y B, así obtendremos dos puntos de intersección que es donde podemos colocar el punto C y que ABC sea equilátero.

b:) En primer lugar repetimos el procedimiento anterior. Trazamos una recta que pase por las intersecciones entre círculos. cualquier punto de esta recta se puede tomar como posición de C, salvo las intersecciones entre los círculos y el punto que los convierte en recta.

Con este procedimiento obtenemos todos los triángulos “verticales”, o mejor dicho aquellos cuyo lado diferente es AB.

Para el resto de triángulos posibles emplearemos los círculos trazados, ya que cualquier punto C que situemos en el circulo tiene longitud AB, obtenemos dos segmentos |AB|=|AC| o |BA|=|BC| que, salvo en el caso de las intersecciones entre círculos, evidentemente forman un triángulo isósceles.

Las intersecciones entre los círculos trazados resultan un triángulo equilátero, que aunque lo podemos tratar como un caso especial de isósceles no sería lo que pide el enunciado.

c:) Podemos hacerlo de dos maneras diferentes, la primera con compás. Trazamos un círculo de longitud AB con centro C, Un círculo de |AC| c=B y uno |BC| de c=A. Así obtenemos 6 puntos de intersección, de los cuales 3 cumplen las condiciones. Es complicado explicar cuales, pero una vez trazados es sencillo verlos.

También podemos hacerlo con escuadra y cartabón. trazamos las rectas AB y AC. trazamos una recta paralela a AB que pase por C y otra paralela a AC que pase por B.la intersección entre las rectas nos dan el punto D. Hay que repetir el proceso en las otras combinaciones posibles (rectas iniciales AB y BC, y rectas AC y BC

d:) Aquí tengo una duda, según entiendo el enunciado, la única solución es cuando el punto P está en el centro del triángulo. En este momento los tres triángulos son isósceles (y además semejantes).

Si deformáramos el triángulo inferior, desplazando arriba o abajo el punto P (a lo largo de su eje de simetría), continuaríamos teniendo un triángulo isósceles, pero los dos restantes se deformarían hacia “izquierda o derecha” y no serían isósceles.