martes, 7 de diciembre de 2010

Ocho lados

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Observa el siguiente procedimiento para construir un octógono.

Dibuja un cuadrado cualquiera y divide en tres partes iguales cada uno de sus cuatro lados.

Une cada dos puntos de división consecutivos.

Habrás obtenido un octógono.

¿Crees que es regular?

¿Cómo debería haberse efectuado la división de los lados del cuadrado para obtener un octógono regular?

Solución

3 comentarios:

Anónimo dijo...

Iván garcía Ruiz
No saldría regular con todos.
Introduces el cuadrado en un círculo concéntrico, trazas sus diámetros verticales y horizontales. de ahí obtienes ya el cuadrado. Trazas las bisectrices de los lados dl cuadrado y obtienes el doble de los lados del cuadrado, si tiene 4 pueso 8 (el octógono)

David dijo...

Primero calculamos si el octógono es regular.

Al dividir el lado del cuadrados tenemos que el segmento central mide 1/3.

Por el teorema de Pitágoras sabemos que la diagonal será:
((1/3)^2+(1/3)^2)^(1/2) =
1/9+1/9) ^(1/2) =
2/9) ^(1/2) =
2^(1/2)/3

Como 1/3 # 2^(1/2)/3 el polígono no es regular.


Para calcular la proporción del lado, podemos hacerlo geométricamente:

Un polígono regular se puede dividir en tantos triángulos como lados tenga. Estos triángulos tendrán dos ángulos iguales y un tercero equivalente a 360/n, en este caso 360/8

Trazamos las diagonales AC y BD del cuadrado, así obtenemos el punto central P y resultan “porciones” de 360/4, como nos interesa obtener una “porción” central de 45º, dividimos el ángulo obtenido en 4 partes y hallamos 3 puntos de intersección; X,Y y Z. La longitud del lado es XZ.

Repetimos el proceso el los cuatro lados para obtener el polígono.



También podemos hallar el lado con ecuaciones.

Damos al lado la longitud unidad, y restamos 2 chaflanes:

x = 1-2y

Por el teorema de Pitágoras calculamos la diagonal del chaflán

x = (y^2+y^2)^(1/2)

Hemos obtenido un sistema fácilmente resoluble por igualación:

1-2y = (y^2+y^2)^(1/2)
(1-2y)^2 = y^2+y^2
4x^2-4y+1 = 2y^2
2y^2-4y+1 = 0

Una sencilla ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:

y1 = 1-2^(1/2)/2 y y2 = 1+2^(1/2)/2

Como una solución mayor a 1 no tiene sentido, el chaflán medirá 1-2^(1/2)/2

Aplicamos el valor de y a la primera igualdad:

x = 1-2·(1-2^(1/2)/2)
x = 1-(2-2^(1/2))
x = 2^(1/2)-1

La longitud del lado sería: 2^(1/2)-1~0,4142

Anónimo dijo...

NO ES REGULAR (NOSE COMO EXPLICARLO)