jueves, 17 de junio de 2010

Matrícula enigmática

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Miquel intenta hacerle una adivinanza a Jaume para que adivine el número de la matrícula de su coche (de 4 cifras). Para ello le dice que encuentre el menor número de 4 cifras que cumpla:

- Es múltiplo de 6

- Su primera y tercera cifras son números consecutivos en orden creciente, así como las cifras segunda y cuarta.

- El número formado por las cifras segunda y cuarta también es múltiplo de 3.

¿Encontrará Jaume la matrícula del coche de Miquel? ¿O será que Miquel está engañando a Jaume? Que alguien diga el número, si existe.

Nota: se considera la primera cifra la de las unidades de millar.

Solución

5 comentarios:

Alejandro dijo...

1122?

Lluís Usó dijo...

siga el nombre 1000a+100b+10c+d.
si el número sencer és divisible per 6 => d=0mod2, a+b+c+d=0mod3.
ja que c=a+1, i d=b+1

2a+2b+2=0mod3 <=> a+b+1=0mod3

b+d=0mod3 => b=1mod3, i, com que d és parell, b és imparell b=1mod2

=>a=1mod3

ara veurem quins enters pot ser b,

de 1mod3 obtenim 1,4,7 però el 4 no pot ser ja que és parell. per tant a pot ser 1,4 o 7, i b només 1 o 7. Fins ací no podem saber amb certesa quin número és, però com que ha de ser el menor, queda clar que a=b=1 i el nombre és el 1122 com algun comentari anterior ja deia.

David dijo...

El numero buscado es del tipo ABCD, donde A son las unidades de millar, B las centenas, C las decenas y D las unidades.

Sabemos que A y C son consecutivos por lo que C=A+1
También sabemos que B y D son consecutivos, por lo que D=C+1

Las matrículas de los coches comienzan por la 0000, por lo que el menor número posible para las unidades de millar sería el 0, por lo que el número menor podría empezar por 0, por lo que tenemos:

1000•0 + 100B + 10•1 +(B+1)=x
100B + 10 + B + 1=x
101B+11=x

Como B y D son consecutivos B+D=2b+1, además 10B+(B+1)=11B+1 debe ser múltiplo de 3, probamos diferentes valores para B y aplicamos a la formula anterior:

B(0)->11•0+1= 1 (no mult. de 3)

B(1)->11•1+1= 12 (mult. de 3)
B(1)->101•1+11=112 (no mult. de 6)

B(2)->11•2+1= 23 (no mult. de 3)

B(3)->11•3+1= 34 ( no mult. de 3)

B(4)->11•4+1= 45 (mult. de 3)
B(4)->101•4+11=415 (no mult. de 6)

B(5)->11•5+1= 56 (no mult. de 3)

B(6)->11•6+1= 67 (no mult. de 3)

B(7)->11•7+1= 78 (mult. de 3)
B(7)->101•7+11=718 (no mult. de 6)

B(8)->11•8+1= 89 (no mult. de 3)

B(9)->11•9+1= 100 (no mult. de 3)

No hay valor para A=0 que satisfaga las condiciones, por lo que A>0, el siguiente valor debe ser A=1, por lo que C=1+1=2, así que tenemos

1000•1 + 100B + 10•2+ (B+1) = x
1000 + 100B +20 + B + 1 =x
101B+1021=x

Repetimos el tanteo:

B(0)->11•0+1= 1 (no mult. de 3)

B(1)->11•1+1= 12 (mult. de 3)
B(1)->101•1+1021=1122 (mult. de 6)

La matrícula del coche de Miquel es 1122

David dijo...

El numero buscado es del tipo ABCD, donde A son las unidades de millar, B las centenas, C las decenas y D las unidades.

Sabemos que A y C son consecutivos por lo que C=A+1
También sabemos que B y D son consecutivos, por lo que D=C+1

Las matrículas de los coches comienzan por la 0000, por lo que el menor número posible para las unidades de millar sería el 0, por lo que el número menor puede empezar por 0, por lo que tenemos:

1000•0 + 100B + 10•1 +(B+1)=x
100B + 10 + B + 1=x
101B+11=x

Como B y D son consecutivos B+D=2b+1, además 10B+(B+1)=11B+1 debe ser múltiplo de 3, probamos diferentes valores para B y aplicamos a la formula anterior:

B(0)->11•0+1= 1 (no mult. de 3)

B(1)->11•1+1= 12 (mult. de 3)
B(1)->101•1+11=112 (no mult. de 6)

B(2)->11•2+1= 23 (no mult. de 3)

B(3)->11•3+1= 34 ( no mult. de 3)

B(4)->11•4+1= 45 (mult. de 3)
B(4)->101•4+11=415 (no mult. de 6)

B(5)->11•5+1= 56 (no mult. de 3)

B(6)->11•6+1= 67 (no mult. de 3)

B(7)->11•7+1= 78 (mult. de 3)
B(7)->101•7+11=718 (no mult. de 6)

B(8)->11•8+1= 89 (no mult. de 3)

B(9)->11•9+1= 100 (no mult. de 3)

No hay valor para A=0 que satisfaga las condiciones, por lo que A >0, el siguiente valor debe ser A=1, por lo que C=1+1=2, así que tenemos

1000•1 + 100B + 10•2+ (B+1) = x
1000 + 100B +20 + B + 1 =x
101B+1021=x

Repetimos el tanteo:

B(0)->11•0+1= 1 (no mult. de 3)

B(1)->11•1+1= 12 (mult. de 3)
B(1)->101•1+1021=1122 (mult. de 6)

La matrícula del coche de Miquel es 1122

Anónimo dijo...

ey aki tenemos ... naaa mas k 4 zimples soluciones
1-º 1122
2-º 1728
3º 7182
4º 7788