domingo, 20 de junio de 2010

Un punto del tetraedro

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Se considera un punto E de la arista AB de un tetraedro regular ABCD.

Determina razonadamente cuándo el valor del ángulo CED es máximo.

Solución

2 comentarios:

David dijo...

Tenemos un tetraedro formado por los puntos A, B, C y D, para simplificar hablaremos del cuadrado (un caso específico de tetraedro)

Partimos de la base de que sabemos que el ángulo formado por los segmentos CE y BE será máximo cuando el punto E, situado en la arista AB se sitúe en su punto medio.

Esto podemos generalizarlo directamente para cualquier rectángulo.

Dado que la siguiente generalización sería para los trapezoides, el punto medio del segmento CD proyectado sobre el segmento AB sería la ubicación óptima para el punto E.

Finalmente solo quedaría considerar un caso, el del tetraedro cuyo segmento AB no puede contener proyección del punto medio del segmento CD, por lo que el punto E coincidiría con el punto A o B más próximo a la recta perpendicular que pasa por la recta que pasa por A y por B.

Considerando todo esto resumimos:

El punto E debe estar en el punto más próximo del segmento AB a la intersección entre la recta que pasa por AB y una recta perpendicular a esta que pasa por el punto medio del segmento CD

Lluís usó dijo...

Un tetraedre regular (quatre cares, no confondre amb un tetràgon, quatre angles i quatre costats ) és una piràmide de base triangular amb triangles equilaters en totes les cares. Això es pot entendre com dos segments de igual mida que es creuen perpendicularment pel mig i tenen una separació entre ells de c(3/4)^1/2, sent c la llongitut del costat. Spdg c=1. Després unim els vèrtex i obtenim el tetraedre. Així la pregunta es pot reformular com: troba un punt sobre un dels segments de manera que l'àngle format pel punt i els dos extrems de l'altre siga màxim. de manera òbvia tots els triangles seràn isòscel.les, i si triem un dels extrems equilàter, també és clar que qualsevol altre que triem tindrà els costats iguals més curts que l'altre, i també sabem que en un isòscel·les l'angle entre els costats iguals és més gran com més curts siguen aquests (per al tercer constant). I resulta òbvi que aixo passa si triem el punt mitjà sent la distància de cos(pi/6) aleshores sin(x/2)=1/((3)^1/2), x=1.23rad=70,5º.