El Mayor Factor Impar
III Concurso IES Miguel Hernández, 2008
A ver si eres capaz de resolver este sencillo problema, que necesita de tu capacidad de observación, y de tu habilidad para justificar cosas.
Dado un número cualquiera, llamamos MFI de ese número a su mayor divisor impar. Así, el MFI de 12 es 3, y el MFI de 15, es 15. Por cierto, que hay números, como el 8, que tienen por MFI a 1.
Demuestra que la suma de los MFI de los números n + 1, n + 2, ..., 2n de cualquier entero positivo n siempre da n2.
Puedes comprobarlo con cualquier número, si no te lo crees.
¿Podrás convencer a todo el mundo de que sucede de verdad para todos los números?
4 comentarios:
Enhorabuena por elegir este problema. Es de los más elegantes que he leído últimamente.
La clave está en que la suma estará compuesta por los N primeros números impares, pero hay que razonarlo.
Independientemente de la solución que publiquéis próximamente, me gustaría contar en mi blog cómo la hoja de cálculo puede ayudar en el análisis del problema. Es bastante ilustrativo. Espero que no os importe.
Saludos
Por supuesto que no nos importa, Antonio. La misión de este blog es que los problemas se usen y se discutan.
Gracias. Me esperaré un poco, porque también se me ha ocurrido un enfoque binario. Es que es un problema que da juego.
Problema interesante. Se puede resolver con bastante facilidad utilizando el método de inducción y dándose cuenta de que el MFI de un número es el mismo que el de su doble.
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