domingo, 22 de marzo de 2009

Construir un triángulo equilátero

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Tenemos una circunferencia de radio 1, y un punto que está fuera del área que delimita esa circunferencia, pero cerca de ella.

Queremos dibujar un triángulo equilátero que tenga un vértice en ese punto y los otros dos en la circunferencia.

¿Podrías dar un método, con regla y compás, que permita dibujarlo (si es posible dibujarlo, claro)?

¿Siempre es posible dibujarlo? ¿Cuántos triángulos con esas condiciones podremos encontrar como máximo?

¿A partir de qué distancia de la circunferencia (o del centro de esa circunferencia, si lo prefieres) no podemos dibujar ningún triángulo como el que queremos dibujar?

Explica cómo lo has calculado, con dibujos, si quieres.

Solución

3 comentarios:

Lluís Usó dijo...

La distància màxima del centre és 3^(1/2)*r (en el nostre cas r=1).
Per a un punt qualsevol (sempre que el triagle existixca) només podem trobar un triangle equilater amb aquestes condicions.

Lluís Usó dijo...

Per a dibuixar el triangle, cal obtenir *dues rectes que formen un angle de 60º , que passen pel punt P, i que tallen la circumferència. Els punts en els que tallen la circumferència i el punt P formen un triangle equilater. Per tant, poden haver-ne dos(excepte si talla la circumfèrencia pel diàmetre. Per tant existeixen dos triagles, i no un de sol com havia afirmat anteriorment.

*Per a obtenir les rectes, odem traçar una circumferència que passe per P, i en la que el centre de la circumferència nova,P i el centre de la circum. inicial estiguen aliniats. Amb obertura r (radi de la nova)i punxant en Q (punt diametralment oposat a P) amb el compàs, tallem la circ. nova en dos punts. Tracem dos rectes que passen per aquests punts i per P, i quan tallen la circum. inicial haurem trobat els punts.

Com ja vaig dir ahir, la distància màxima antre P i els alters v`rtex no pot ser major que 2R, i, aplicant pitàgores, dist.(P,Ce(centre de la circ. inicial))<(3^(1/2)*R)

Sé que és molt llarg, però és que no se introduir dibuixos.

Proble Mático dijo...

Muy bien explicado el razonamiento.
Hay un par de cabos sueltos, que ataré en la solución completa.
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