domingo, 1 de agosto de 2010

Una ecuación complicada

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Calcula las soluciones reales de la ecuación siguiente:

(1729 - x)(1/3) + x(1/3) = 19

(En realidad, se trata de que las sumas de las raíces cúbicas de 1729 - x y x dé 19)

Solución

8 comentarios:

Anónimo dijo...

¿Hay un error en el enunciado?

dice raíz cuadrada pero en la ecuación aparece raíz cúbica

Proble Mático dijo...

¡Corregido!
Efectivamente, se trataba de un error mío. Era una suma de raíces cúbicas...

Anónimo dijo...

sea x=a^3 --------> x^(1/3)=a
(1729-a^3)^(1/3)=(19-a)
elevando al cubo ambos lados de la ec
1729-a^3=(6859-1083a+57a^2-a^3)
sumando a^3 - 1729 a ambos lados
57a^2-1083a+5130=0
a1=(1083+((1083)^2-4(57)(5130))/(2(57))
a1=10 ---------> x1=1000
a2=(1083-((1083)^2-4(57)(5130))/(2(57))
a2=9---------> x1=729

Anónimo dijo...

´porfavor ayudenmeeeee!!! me urgee!!
el tema es propiedades de residuos
r7=(9999)^999

Pablo dijo...

¿que número era? creo que el 5 pero no estoy seguro. me sorprendió bastante.

Proble Mático dijo...

Llevo bastantes días sin publicar soluciones, porque estoy ocupado. Pronto me pondré al día.

Antonio dijo...

Tomamos
x^(1/3)= T ; x= T^3
Sustituimos en la ecuacion y realizamos las operaciones:
(1729-T^3)^(1/3)+T=19
1729-T^3=(19-T)^3
1729-T^3=6859-1083T+57T^2-T^3
57T^2-1083T-5130=0
Queda una ecuacion de segundo grado muy facil de resolver:
T^2-19T+90=0
T=(19/2)
Restituimos y obtenemos la solucion
x=(19/2)^3

Boris dijo...

x=729