Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010
Sea In el conjunto de los n primeros números naturales impares.
Por ejemplo: I3 = {1, 3, 5}, I6 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, etc.
¿Para qué números n el conjunto In se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas?
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3 comentarios:
Como mínimo, para todos los n múltiplos de 4 se cumple .
Para dicho n la manera de agrupar los números seria la siguiente:
- el primer y último número (que suman 2n) para el primer conjunto,
- el segundo y penúltimo número (que suman lo mismo 2n) para el segundo conjunto,
- el tercer y antepenúltimo número (que suman lo mismo 2n) de nuevo para el primer conjunto,
- ... y así vamos haciendo. Al final cada conjunto sumará (n²)/2
Ahora vamos a ver si se cumple para algún otro n:
La suma de todo el conjunto es (1 + (2n-1))*n/2 = n²
Por lo tanto si se divide el conjunto en dos conjuntos disjuntos que suman lo mismo, cada uno de los dos conjuntos sumará (n²)/2
Así pues no pasará con valores de n impares.
¿Y qué pasa con los valores de n pares que no son múltiples de 4, como 2, 6, 10, ...? Parece que no pasará, pero todavía no sé demostrar porqué. Quizás utilizando combinatoria se pueda demostrar.
per a n imparell, no es pot separar (trivial)
per a n parell sí:
si a més n multiple de quatre, és òbvi. (tenim un nombre parell de parelles que sumen igual, i per tant només cal partir-les...)
per a n parell però no divisile per quatre:
tenim un conjunt de 4n elements, per al que, com ja hem dit abans tenim separacio en dos grups amb igual suma, n'afegim dos més: en 2n+1 i el 2n+3. Dels dos subconjunts que teniem inicialment, en un dels dos s'hi troba l'1. en aquest, posem el 2n+3, i llevem l1, a l'altre posem l1, i el 2n+1. així tenim el mateix en els dos subconjunts.
n=2^(k+1) ,k=1,2,3...
PABLO 154
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