Haciendo rodar un papel
Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010
Dos cilindros
Toma dos hojas de papel iguales. Con ellas puedes construir dos cilindros diferentes, como puedes ver en el dibujo, uno más delgado y otro más corto.
a) ¿Cuál de los dos tendrá mayor capacidad?
b) Si los dejamos caer por un plano inclinado, ¿Cuál rodará más rápido?
Dos prismas
c) También puedes hacer dos prismas con otras dos hojas iguales. ¿Cuál de los cuatro cuerpos tiene mayor capacidad?
1 comentario:
A:)Damos a la hoja unas proporciones de 3 a 1 para calcular.
El cilidro largo tiene un ancho de 1, por lo que el radio del circulo que compone el cilindro será 1/2pi.
El volumen será (1/2pi)^2*3 o 3/(4pi^2)
En el caso contrario tenemos que el ancho es 3, por lo que el radio será (3/2pi).
y su volumen (3/2pi)^2*1 o 9/(4pi^2)
El cilindro de mayor volumen será el apaisado.
Ca: Tomamos las mismas proporciones, 3 a 1.
El primer ancho es 1, así que el lado será 1/4.
el volumen será (1/4)^2*3 o 3/16
El segundo ancho será 3, y su lado 3/4.
Su volumen (3/4)^2*1 o 9/16
Volvemos a tener el volumen mayor cuando doblamos por el ancho.
Esto se cumplirá en todas las ocasiones similares, ya el radio o el lado que obtenemos se debe elevar al cuadrado.
También podemos decir que el mayor volúmen lo obtendremos "cuando mayor sea el área de la tapa"
Cb: El cilindro mayor tiene 9/(4pi^2) u^3 y el prisma 9/16 u3, por lo que el cuerpo de mayor volumen será el prisma apaisado.
B:) Esta pregunta tiene trampa, intuitivamente se diría que el grande.
Si despreciamos el rozamiento TODOS los objetos sufren la misma aceleración por la fuerza de gravedad y por tanto la misma velocidad lineal.
En un plano inclinado, ambos recorren la misma distancia en el mismo tiempo a lo largo de la diagonal.
Como el cilíndro cae rodando, la unica diferencia que podemos percibir es la rapidez de los giros.
El cilindro estrecho debe dar 3 veces más vueltas que el grande para completar el recorrido, por lo que su velocidad angular será el triple de rápida.
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