Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010
Triángulo dentro de un cuadrado
En el interior de un cuadrado de lado 1 se traza un triángulo equilátero de forma que uno de sus vértices está sobre uno de los del cuadrado, y los otros dos sobre los lados que tienen el vértice contrario del cuadrado en común.
Averigua el área del triángulo.
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6 comentarios:
RTA. 0.5 CM2, CONFIRMAME SI ES CORRECTO
Se obtienen tres igualdades:
(Sea L la longitud del lado del triángulo equilátero)
i) x+y=1
ii)L=2x^2
iii) L=y^2+1
igualando ii) y ii)y despejando 'y'
y=raiz(2x^2-1), ahora reemplazando en i)
x+raiz(2x^2-1)=1
x-1=-raiz(2x^2-1),elevando al cuadrado,
x^2-2x+1=2x^2-1
x^2+2x-2=0
solo no quedamos con x>0
x=(-2+2raiz(3))/4
x=(-1+raiz(3))/2...
luego reemplazamos en ii) o iii) y obtenemos L ,y finalmente aplicamos la fórmula para el área de un triángulo equilátero...
Pablo 154
Como se trata de un triángulo equilátero, cada ángulo es igual a 60º, al encajarlo en un ángulo recto, tenemos que:
(90-60)/2 = 15 = pi/12
Calculamos el lado del triángulo:
1/cos(pi/12) = 6^(1/2)-2^(1/2)
Ahora calculamos la altura del triángulo:
(6^(1/2)-2^(1/2))•cos(pi/6) = 3•2^(1/2)/2-6^(1/2)/2
Finalmente calculamos el área del triángulo:
(3•2^(1/2)/2-6^(1/2)/2)•(6^(1/2)-2^(1/2))/2 = 2•3^(1/2)-3 = 0,4641
Esta es una solución alternativa al problema, sólo hay que aplicar algo de álgebra, definiciones sobre triángulos, etc.
En un cuadrado sólo podemos construir un triángulo equilátero con uno de sus vértices en uno de los vértices del cuadrado y, tenemos dos triángulos rectángulos iguales y uno isósceles rectángulo. Así, asignamos un valor arbitrario al lado más pequeño en medida, sea X este lado.
Luego por teorema de Pitágoras tenemos que el lado del triángulo equilátero (hipotenusa del triángulo pequeño) es:
a^2 = 1 + X^2
Además, en el triángulo isósceles rectángulo tenemos que:
a^2 = b^2 = 2(1-X)^2
Igualando, estas dos ecuaciones, obtenemos que:
X^2 - 4X + 1 = 0
Aplicando la formula general obtenemos:
X = 2 ± raíz(3)
De donde sólo es admitida la solución:
X = 2 - raíz(3)
Calculamos la altura del triángulo (por el teorema de Pitágoras):
(X^2 + 1) - [(1 - X)^2/2] = h^2
Obtenemos:
h = (X + 1)/ raíz(2)
Aplicando, la fórmula de área de un triángulo tenemos:
A = [(1-X)raíz(2)*(X+1)/raíz(2)]/2
A = (1 - X^2)/2
Sustituyendo en esta última expresión el valor de:
X = 2 - raíz(3)
Tenemos que el área del triángulo es:
A = 2raíz(3) - 3
Nota: También, podemos al área del cuadrado restarle el área de los triángulos rectángulos y obtenemos el área del triángulo equilátero de la figura.
Esta es una solución alternativa al problema, sólo hay que aplicar algo de álgebra, definiciones sobre triángulos, etc.
En un cuadrado sólo podemos construir un triángulo equilátero con uno de sus vértices en uno de los vértices del cuadrado y, tenemos dos triángulos rectángulos iguales y uno isósceles rectángulo. Así, asignamos un valor arbitrario al lado más pequeño en medida, sea X este lado.
Luego por teorema de Pitágoras tenemos que el lado del triángulo equilátero (hipotenusa del triángulo pequeño) es:
a^2 = 1 + X^2
Además, en el triángulo isósceles rectángulo tenemos que:
a^2 = b^2 = 2(1-X)^2
Igualando, estas dos ecuaciones, obtenemos que:
X^2 - 4X + 1 = 0
Aplicando la formula general obtenemos:
X = 2 ± raíz(3)
De donde sólo es admitida la solución:
X = 2 - raíz(3)
Calculamos la altura del triángulo (por el teorema de Pitágoras):
(X^2 + 1) - [(1 - X)^2/2] = h^2
Obtenemos:
h = (X + 1)/ raíz(2)
Aplicando, la fórmula de área de un triángulo tenemos:
A = [(1-X)raíz(2)*(X+1)/raíz(2)]/2
A = (1 - X^2)/2
Sustituyendo en esta última expresión el valor de:
X = 2 - raíz(3)
Tenemos que el área del triángulo es:
A = 2raíz(3) - 3
Nota: También, podemos al área del cuadrado restarle el área de los triángulos rectángulos y obtenemos el área del triángulo equilátero de la figura.
Esta es una solución alternativa al problema, sólo hay que aplicar algo de álgebra, definiciones sobre triángulos, etc.
En un cuadrado sólo podemos construir un triángulo equilátero con uno de sus vértices en uno de los vértices del cuadrado y, tenemos dos triángulos rectángulos iguales y uno isósceles rectángulo. Así, asignamos un valor arbitrario al lado más pequeño en medida, sea X este lado.
Luego por teorema de Pitágoras tenemos que el lado del triángulo equilátero (hipotenusa del triángulo pequeño) es:
a^2 = 1 + X^2
Además, en el triángulo isósceles rectángulo tenemos que:
a^2 = b^2 = 2(1-X)^2
Igualando, estas dos ecuaciones, obtenemos que:
X^2 - 4X + 1 = 0
Aplicando la formula general obtenemos:
X = 2 ± raíz(3)
De donde sólo es admitida la solución:
X = 2 - raíz(3)
Calculamos la altura del triángulo (por el teorema de Pitágoras):
(X^2 + 1) - [(1 - X)^2/2] = h^2
Obtenemos:
h = (X + 1)/ raíz(2)
Aplicando, la fórmula de área de un triángulo tenemos:
A = [(1-X)raíz(2)*(X+1)/raíz(2)]/2
A = (1 - X^2)/2
Sustituyendo en esta última expresión el valor de:
X = 2 - raíz(3)
Tenemos que el área del triángulo es:
A = 2raíz(3) - 3
Nota: También, podemos al área del cuadrado restarle el área de los triángulos rectángulos y obtenemos el área del triángulo equilátero de la figura.
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