Una cuestión de unos y ceros

Concurso de El Pais, junio de 2011

El problema de esta semana parte de la observación de que todos los números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos.

(Por ejemplo: 1x10=10; 2x5=10; 3x37=111; 4X25=100; 5X2=10; 6X185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000; 9x12345679=111111111... y así para cualquier número natural).

La pregunta de la semana es: ¿por qué sucede esto? Es decir ¿puedes demostrarlo o encontrar un número al que no le suceda?

Solución