domingo, 27 de febrero de 2011

Sumando 4 o 7

Problema de selección para el Mathcamp (2010)

Considera el siguiente juego para dos jugadores: Empezando desde el cero, cada jugador en su turno suma 4 o suma 7 al resultado que el otro jugador haya obtenido.

Si el resultado que consigue un jugador en su turno acaba en dos ceros (es decir, es múltiplo de 100), el jugador gana.

Asumiendo que ambos jugadores saben razonar, ¿hay una estrategia para que alguno de los dos gane el juego, o puede este juego continuar indefinidamente?

Si existe una estrategia, decide si es mejor empezar el juego, o dejar empezar al rival, y cuál debe ser la cadena de movimientos que hay que realizar para ganar.

Solución

1 comentario:

David dijo...

A priori parece que la mejor estrategia es ser el jugador 2, dejamos elegir al jugador 1 y sumamos siempre el opuesto (7+4=11 ó 4+7=11) hasta llegar al mcm (100,11)=1100

El problema es si hay algún numero múltiplo de 11 que al sumarle 3 ó 7 resulte un numero múltiplo de 100, ya que en la siguiente ronda el jugador 1 podría darle la vuelta a la tortilla:

11*9=99
198
297
396 (+4=400)
...

Por lo que vemos que este camino no es el adecuado (suponemos que el oponente es de nuestro nivel).


Ahora probamos por sustitución regresiva, a ver si encontramos un paso común al que llegar:

(100)
(96) (93)
((92) (89)) ((89) (96))

En dos pasos encontramos dos valores comunes 96 y 89. El nº 96 no nos sirve, ya que se encuentra “en un numero de paso distinto”. Seguimos por el camino del 89.

89
(85) (82)
((81) (78)) ((78) (75))

Idem de lo mismo, encontramos el 75 que nos sirve.

75
(71) (68)
((87) (64)) ((64) (61))

64
(60) (57)
((57) (63)) ((54) (50))
((((54) (50)) ((59) (56))) (((50) (47)) ((46) (43))))

En el tercer paso se ha complicado un poco, pero encontramos un común útil, el 50

Para obtener el resultado con seguridad necesitamos un número par de pasos, ya que somos nosotros quienes hemos de ajustar las posibilidades necesitamos ser el jugador 2.

Creo que este juego se puede jugar indefinidamente hasta que uno de los dos cometa un error.