jueves, 3 de febrero de 2011

Cuatro puntos

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Área sombreada

Dibuja en tu cuaderno cuatro puntos de manera que al unir con líneas dos cualesquiera de ellos se obtengan solamente dos tamaños diferentes de segmentos.

En la figura tienes una de las seis soluciones. Trata de obtener las otras cinco.

Interesa que expliques, en cada caso, los pasos que has dado para obtener los cuatro puntos.

Solución

6 comentarios:

Perdedor dijo...

Los que encontré yo fueron:

1) un triángulo equilátero con un punto en el centro del mismo ( es decir, el punto equidistante de los tres vértices)

2) un rombo de todos sus lados iguales y con la diagonal menor también igual a sus lados


3) un triángulo equilátero con un punto por fuera del mismo que sea equidistante a los dos puntos de la base, y que la distancia al tercer punto sea igual al largo de los lados del triángulo.

4) ( este me queda la duda de si es igual al rombo, pero por las dudas lo pongo) un paralelogramo formado por dos triángulos equiláteros.

David dijo...

Yo solo he encontrado cuatro de las cinco soluciones:

La primera es trazar un triángulo equilátero y como ya se ha dicho, trazar las bisectrices de los ángulos, el punto donde se cruzan es equidistante al resto de puntos.

La segunda es sobre el mismo triángulo equilátero, trazar un arco entre dos puntos con centro en el tercero, el punto medio de ese arco está cumple las condiciones del enunciado.

La tercera también parte del triángulo equilátero, trazamos la altura y extendemos la recta fuera del triángulo, en esa recta y a la distancia igual al lado, se encuentra el cuarto punto que buscamos.

La última que encuentro es el paralelogramo formado por dos triángulos equiláteros.

Falta la quinta, pero debe ser antiintuitiva...

Nicolás dijo...

Hola, quisiera saber si me pueden ayudar con este problema de las olimpíadas.
El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia G. Una cuerda MN de G de longitud 1 corta a los lados AB y AC en X e Y, respectivamente, con M, X, Y, N en ese orden en MN. Sea UV el diámetro de G perpendicular a MN, con U y A del mismo lado de MN. Las rectas AV, BU y CU dividen a la cuerda MN en razones 3 : 2, 4 : 5 y 7 : 6, respectivamente, contando desde M. Hallar la longitud del segmento XY.
No soy muy bueno en geometría XD.
Desde ya muchas gracias.

Proble Mático dijo...

Parece complicado, y ahora no dispongo de mucho tiempo.

Si algún visitante quiere intentarlo, que comente aquí. Yo tardaré bastante en poder verlo.

Lo siento.

Anónimo dijo...

Hola Roberto, he estat pegant-li voltes al problemeta que hem comentat esta vesprada. No es un exercici estrictament de grafs perquè tots 6 son isomorfs, però és un problema que m'ha agradat molt i que utilitzaré en classe.
He trobat els 6 grafs.
a) El quadrat.
b) Dos triangles equilaters coincidents en una aresta.
c) Un triangle equilater i un altre punt exterior a la mateixa distància però sense que es talle cap aresta.
d) Un triangle equilàter i un altre punt exterior a la mateixa distància però de forma que una parella d'arestes es tallen.
e) Un triangle equilater amb un punt interior central.
f) La que més m'ha costat de trobar. Un trapezi de forma que les dues diagonals i la base major coincideixen en mesura i que l'altra base i els dos segments inclinats mesuren el mateix.

Un exercici molt interessant.
Salutacions cordials.
Toni Gil.

Olbert Pérez dijo...

1) un triángulo equilatero con un punto entre a y b de la base.
2) un triángulo isosceles de igual forma (la diferencia gradual las hace en gran parte diferente una de otra).
3) un rombo ABCD de tal forma que la unión de los puntos B Y D cree un segmento igual a la medida de los segmentos AB y BC
4) una "flecha" derivada de la composición de un triángulo equilatero que en vez de tener su punto a la media del segmento AB tenga tal punto D en la parte central del triángulo equidistante con cada punto.
5) un un paralelogramo "equilatero".