Familia de funciones enteras

Problema de selección para el Mathcamp (2010)

Sean r y s dos enteros positivos. Sea F una función del conjunto de todos los números enteros positivos {1, 2, ...} en sí mismo que reúne las siguientes propiedades:

a) Si dos números n y m son diferentes, entonces F(n) es diferente de F(m).

b) Para todo valor n existe un valor m tal que F(m) = n.

c) Para todo valor n, o bien F(n) = n + r, o bien F(n) = n - s.

Responde a las siguientes cuestiones:

1) Si r = 5 y s = 8, ¿qué vale F(2010)?

2) Encuentra, demostrando que es cierto, el valor k más pequeño que verifica que al aplicar la función F k veces obtenemos la identidad, es decir, que F(F(...F(n))...) = n para cualquier valor n, donde aparece repetida k veces la F y los correspondientes paréntesis. La respuesta, por supuesto, dependerá de r y s.

Solución