Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010
Determina los lados del triángulo rectángulo del que se conocen el perímetro, 96 unidades, y la altura sobre la hipotenusa, que mide 96/5 unidades.
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1 comentario:
sea c la hipotenusa y a,b los catetos del triángulo rectángulo ,luego sabemos que:
i)a+b+c=96 ---> a+b=96-c
ii)h=(ab/c)=96/5 ---> ab=96c/5
iii)a^2+b^2=c^2
Entonces:
(a+b+c)^2=96^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=9216
usando las igualades i),ii) y iii)
2c^2+2(96c/5)+2c(a+b)=9216
c^2+(96/5)c+c(96-c)=4608
c^2+(96/5)c+96c-c^2=4608
(576/5)c=4608---> c=40
entonces:
1)a+b=56
2)a*b=768
1) en 2)
a^2-56a+768
a1=32---> b1=24
a2=24---> b2=32
Por lo tanto las medidas del triángulo son:
[a,b,c]=[24,32,40]=[32,24,40]
Pablo Felipe Martínez Ramos
Pablo154
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