Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Olimpiada Ñandú, tercer nivel de la interescolar, 2009
Valentina escribe un número de tres cifras.
Después, intercambia el número de las centenas por el de las unidades y escribe este nuevo número.
Al sumar ambos números obtiene un número de tres cifras que tiene las tres cifras iguales.
¿Cuál fue el primer número que escribió Valentina? Dí todas las posibilidades.
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3 comentarios:
Siguen a, b i c les xifres. a>0 (si no seria de tres xifres) per tant b>0 (si no el resultat no tindria les xifres iguals) i c és igual ja que l'enunciat no demana que el nombre obtingut en intercanviar les xifres siga de tres.
El primer nombre 100a+10b+c, i el segon 100c+10b+a, la suma 101a+101c+20b = 101(a+b)+20b Que ha de ser de tres xifres, per tant b+a<=9, i, per tant la segona xifra ve donada exclusivament per b. Això vol dir que només podem aconseguir els nombres de tres xifres amb totes elles iguals que siguen parells (222, 444, 666, 888), b és única per a cada nombre, i de les condicions inicials obtenim les possibilitats per a i c.
Siga n la xifra a obtenir en el resultat (2, 4, 6 o 8) , aleshores b=n/2, a+c=n, per tant c val 0, 1, 2...,n-1 i a n, n-1, ..., 1. (entenent que cal aparellar a i c en l'ordre donat, de manera que a+c=n)
123, si cambio la centena por la unidad nos queda 321, si sumo ambos nos queda 444 quedando un numero con las tres cifras iguales.
Que Tal Con
531
135
El Resultado Es 666
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