Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase provincial de Castellón de la XX Olimpiada Matemática, 2009
Consideremos un arco de circunferencia. Elegimos un punto cualquiera sobre él y, con el mismo radio, trazamos otro arco que corta al primero en dos puntos.
Halla la superficie comprendida entre los dos arcos suponiendo conocido el radio.
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2 comentarios:
siendo R el radio de la primera circunferencia y r el de la segunda y 2a el angulo bajo el cual se ven las intersecciones de las 2 circunferencia sobre la primera: PI*r^2(PI+a)/(2*PI)-2*[PI*R^2*a/(2*PI)-R^2*(sina)/2] y simplificando r^2*(PI+a)/2+R^2*(sina-a)
He fet el problema de dues maneres:
El primer que cal fer és un dibuix, de manera que quedee clar que el problema és calcular l'area d'intersecció de dos cercles de radi R i distància entre centres R.
Un cop fet això, podem plantejar les funcions de les circumferències (x^2+y^2=R^2, i x^2+(y-R)^2=R^2), resoldreper a y, i integrar entre -(3^1/2)R/2 i +(3^1/2)R/2, restant el primer al segon obtindrem l'area demanada. 2piR^2/3-(3^1/2)R^2/2
D'altra banda, podem veure que si tallem l'àrea per la meitat amb una recta que passe pels punts d'intersecció, i unim el centre d'una circumferència amb els punts d'intersecció, obtenim un sector circular de 2pi/3 (120º), per tant amb una àrea de (piR^2)/3. Aquest sector comprén la meitat de l'area a calcular (que hem dividt abans) i un triangle format pel centre i els punts de tall de les circumferències, i resuta òbvi que l'àrea del dit triangle és (R^2)(3^1/2)/4, i ja tenim la meitat de l'àrea, que per dos, deixa el resultat obtingut abans.
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