domingo, 24 de enero de 2010

El área de una cruz

Fase provincial de Castellón de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cruz con 5 cuadrados

Cruz con 5 cuadrados

Una figura se forma poniendo un cuadrado en el centro y cuatro cuadrados alrededor, como en la figura.

Sólo conocemos una longitud, la que va desde un vértice del cuadrado central a una esquina exterios que no está alineada con los lados de los cuadrados en los que está ese vértice, de uno de los cuadrados que están en contacto con el lado opuesto. Mide 5 centímetros.

¿Puedes calcular el área de la figura?

Solución

5 comentarios:

Lluís Usó dijo...

siga c el costat del quadrat, aleshores, pel teorema de Pitàgores, (2c)^2+c^2=25; c^2=5, que pels cinc quadrats que hi ha són 25cm^2 (2,5.10^-3 m^2 en el SI)

danny10orama dijo...

Para calcular el área de la cruz, basta conocer un lado de alguno de los cuadrados. Para esto, se emplea Teorema de Pitágoras, sabiendo que, con el trazo de 5 cm, se forma un triángulo rectágulo cuyos catetos son a y 2a:

a^2 + (2a)^2 = 5 cm
5a^2 = 5 cm
a = 1 cm

Sabiendo este dato, se calcula fácilmente el área de la cruz: 5 cm^2

danny10orama dijo...

Gracias al comentario de Lluís me di cuenta de mi gran error usando el teorema de pitágoras... ya que claro el lado del cuadrado terminaría siendo 5 cm y no 1 cm.

Corrigiendo esto, comparto el mismo resultado que él: 25 cm^2

Sarai dijo...

La medida que tenemos es la de la hipotenusa (H) de un cuadrado formado por dos catetos: el cateto 'a' y el cateto 'b' que a la vez viene siendo el doble de 'a'.

Por lo tanto b=2a

Y siguiendo el teorema de Pitágoras sabemos que:

· H^2=a^2*b^2
· H^2=a^2*(2a)^2
· 5^2=a^2*4a^2
· 25=5a^2
· 5=a^2

Si sabemos que el área de un cuadrado se haya multiplicando sus lados (L*L) o lo que es lo mismo (L^2) vemos que la solución anterior sería el área del cuadrado ya que 'a' es igual al lado del cuadrado (L) asi que a^2=L^2

Y si la figura consta de 5 cuadrados:

· areaCruz=5*areaCuadrado
· areaCruz=5*5
· areaCruz=25cm^2

Anónimo dijo...

Lo pensé de otra forma:
http://img684.imageshack.us/img684/6691/otrasolucion.jpg

Dibujo los mismos segmentos de longitud L (5cm) como se indica en la figura. Dentro del cuadrado formado me quedan partes de la figura buscada, otras que no lo son y partes fuera del cuadrado pero que son de la figura. Resulta que esas partes sobrantes y esas partes que no tengo en cuenta, son del mismo tamaño. Por lo tanto la superficie pedida es justamente la del cuadrado, o sea L^2 = 25.