jueves, 14 de enero de 2010

Un cuadrado con cuatros y ochos

Fase local de Cataluña de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2009/10

Para cada número natural n, considera el entero positivo formado por 2n cifras, de las que las n primeras son 4, las siguientes n - 1 son 8, y la última es un 9.

Demuestra que cada uno de ellos es un cuadrado perfecto y calcula su raíz cuadrada.

Solución

2 comentarios:

Lluís Usó dijo...

El primer que cal fer és construir uns quants nombres d'aquests i calcular-ne l'arrel. Fent això observem que 67^2=4489; 667^2=444889 etc.

Cal ara demostrar-ho, escrivim els números com a sumatoris de potències de 10, i , per inducció, es pot demostrar de manera senzilla que 6xsuma10^i (entre 0 i n-1) +1, al quadrat, és el número que busquem.

Alex dijo...

Allá va otra solución, sin inducción matemática y sin saber el resultado de la raiz cuadrada a priori.

( no sé como lo escribiré sin símbolos matemáticos de sumatorio )

El número se puede escribir como producto de sus cifras por las potencias sucesivas de la base diez. Por ejemplo 444889 = 4x10^5 + 4x10^4 + 4x10^3 + 8x10^2 + 8x10^1 + 9x10^0 . Pero por intuición yo voy a escoger descomponerlo antes en 444889 = 444444 + 444 + 1. Es decir, expresaré el número de 2n cifras como:

4 x sumatorio desde i = 0 hasta 2n-1 de 10^n + 4 x sumatorio desde i = 0 hasta n-1 de 10^n + 1

¿Cómo podría sacar yo la raiz cuadrada de esto? Ahí entra en juego una fórmula que he deducido, pero que seguramente es conocida (yo no la conocía, y es lo que más me ha gustado de este problema)

sumatorio desde i = 0 hasta n-1 de 10^n vale (10^n - 1) / 9

y de hecho

sumatorio desde i = 0 hasta n-1 de b^n vale (b^n - 1) / (b - 1)

(* demostraré esta fórmula al final)

Aplicando la fórmula transformo los sumatorios anteriores en

4 x sumatorio desde i = 0 hasta 2n-1 de 10^n + 4 x sumatorio desde i = 0 hasta n-1 de 10^n + 1 = 4 x (10^(2n) - 1) / 9 + 4 x (10^n - 1) / 9 + 1

que simplificando queda

(4 x 10^(2n) + 4 x 10^n + 1) / 9

que es un cuadrado, concretamente

( 2 x 10^n + 1)^2 / 3^2

por lo tanto la raíz cuadrada es

(2 x 10^n + 1) / 3

esto son n-1 seises y un siete final (0.6666666666666 x 10^n + 0.3333333333)


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demostración de sumatorio desde i = 0 hasta n-1 de (b^n) vale (b^n - 1) / (b - 1)

Se me ha ocurrido cuando intentaba expresar el sumatorio de las potencias de 10 de una manera más simple.

El sumatorio de las n primeras potencias de diez sería un número con n 1's:

Por ejemplo, para n = 6 entonces el número seria 111111

Pero 111111 = 999999 / 9 y entonces 999999 = 10^7 - 1

Entonces me he dado cuenta que este razonamiento funcionaba no sólo para 10 sino para cualquier natural b si imáginábamos el número expresado en base b:

sumatorio desde i = 0 hasta n-1 de (b^n) será un número con n 1's si el número lo expreso en base b.

Por ejemplo, para n = 6 entonces el número seria 111111 (b

Pero 111111 (b = aaaaaa / a (b , donde a és el símbolo que representa la cifra más grande en base b, es decir a = (b-1)

y entonces aaaaaa (b = b^7 - 1

Así sumatorio desde i = 0 hasta n-1 de (b^n) vale (b^n - 1) / (b - 1) y otra manera de demostrarlo fácilmente es utilizando el pricipio de inducción matemática. Funciona para n = 0 y si suponemos cierto para n entonces es fácil de ver que funciona para n+1