domingo, 10 de mayo de 2009

El número imposible

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Imagina un número tal que sus cifras suman exactamente 12. ¿Puede ser un cuadrado perfecto, es decir, ser el cuadrado de otro número? ¿Por qué?

Solución

1 comentario:

Lluís Usó dijo...

Encara que no ho semble, aquest problema és prou senzill un cop t'adones de la situació.

Com ja fa entendre l'enunciat (i podem provarho per a diferents números), no pot ser mai un quadrat perfecte, i cal demostrar per què.

Com sabem un número és divisible per 3 si la suma de les xifres és divisible entre 3. En el nostre cas, 12 és divisible per 3, però no per 9, i per això no pot ser un quadrat perfecte, ja que l'arrel sempre serà múltiple de 3^1/2, que com sabem no és entra, ni tans sols racional.

Per tant queda demostrat que un nombre la suma de les xifres del qual siga 12 no pot ser un quadrat perfecte.