Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Cuarto problema de la 23 Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (2008)
Demuestra que no existen enteros x e y tales que:
x2008 + 2008! = 21y
Es decir, que ninguna potencia de número entero de exponente 2008 puede añadirse al factorial de 2008 de forma que se obtenga una potencia entera de 21.
Publicado por
Proble Mático
a las
12:50
Etiquetas: bachillerato, iberoamericana, internacional, matematicas, olimpiada, problemas
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7 comentarios:
Cuándo publican la solución? me intriga ese problema
Perdona que no haya escrito nada sobre este problema, es que parece que no levantaba mucho interés, y yo estaba algo ocupado. Entre esta semana y la que viene lo retomaré.
Ya está. He tardado, pero he puesto una solución.
Hola.
Podrías resolver o darme alguna idea sobre el problema numero 3 de la segunda olimpiada matematica iberoamericana. En el se pide demostrar que m es cuadrado perfecto.
gracias
Ya he encontrado el problema.
Parece bastante difícil.
De momento se me ocurren dos vías de ataque:
El método recursivo, que sería tratar de componer una potencia de las indicadas con la anterior, y ver que resulta ser un cuadrado perfecto.
Usar la fórmula de la potencia del binomio, quedándonos sólo con las potencias pares del segundo término, y buscar alguna propiedad que nos permita simplificarla (lo veo más difícil).
En cualquier caso, observa que las potencias impares no importa con qué coeficiente se quedan, sólo hemos de trabajar con las impares. Fíjate cómo funcionan los casos r=1, r=2 y r=3 y trata de generalizar.
Si sigues atascado, escríbeme a problemate (@) gmail.com, y te envío un enlace con una solución (no es mía, la he encontrado).
Considere que 7 divide a 21^y, por lo que divide a x^2008 + 2008!; además, como 7 divide a 2008!, también divide a x^2008, y como 7 es primo, 7 divide a x. Note además que 7^331 divide a 2008! (puede comprobarlo sumando las potencias de 7 dividen a cada numero del 1 al 2008). Como 7^331 divide a 2008!, y 7 divide a x, entonces 7^331 divide a x^2008 + 2008! (lo que tambien hace que 7^331 divida a 21^y), pero 7^332 divide a x^2008, no así a 2008!,por lo que 7^332 no divide a x^2008 + 2008! y tampoco a 21^y. Así tenemos que 7^331 divide a 21^y, además 7^332 no divide a 21^332. Así el único valor posible de y sería 331. Pero entonces 3^331 divide a 21^y y 3^332 no lo divide, lo mismo pasa con x^2008 +2008!. Pero note que 3 divide a 2008!, 3 divide a x^2008, 3 divide a x, entonces, ocurre que 3^332 Si divide a x^2008 +2008! (divide a ambos sumandos). Y caemos en una contradiccion, por lo que noexisten "x" y "y" que cumplan las condiciones.
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