domingo, 2 de marzo de 2008

Polinomio sin raíces enteras

(Fase nacional de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que si existe un entero k tal que ninguno de los enteros P(1), P(2), ... , P(k) es divisible por k, entonces P(x) no tiene raíces enteras.

Solución

1 comentario:

Jorge dijo...

Es un problema bonito, la verdad.

Razonamos por el absurdo: supongamos que P(X) tiene una raíz entera n. Podemos escribir P(X)=(X-n) Q(X), donde Q(X) es otro polinomio de coeficientes enteros. Así, si i es un número entre 1 y k, P(i)=(i-n) Q(i). Alguno de los números consecutivos 1-n, 2-n, ... , k-n es divisible por k: si j-n lo es, entonces P(j) es divisible por k.