Ortoedros divididos en cubos

(Fase nacional de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

Las dimensiones de un ortoedro de madera son enteras. Pintamos toda su superficie (las seis caras), lo cortamos mediante planos paralelos a las caras en cubos de una unidad de arista y observamos que exactamente la mitad de los cubos no tienen ninguna cara pintada. Probar que el número de ortoedros con tal propiedad es finito.

Puede resultar útil tener en cuenta que la raíz cúbica de 1/2 es aproximadamente 0,79, es decir, menor que 0,8.

Solución