Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
(Fase nacional de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)
Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que si existe un entero k tal que ninguno de los enteros P(1), P(2), ... , P(k) es divisible por k, entonces P(x) no tiene raíces enteras.
Si quieres colaborar con el blog, o contactar con el autor, deja un comentario en cualquiera de las entradas.
Leo todos los comentarios antes de que se publiquen, así que si dejas información sensible (correo electrónico, por ejemplo) lo borraré antes de que lo vea alguien más.
Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons.
1 comentario:
Es un problema bonito, la verdad.
Razonamos por el absurdo: supongamos que P(X) tiene una raíz entera n. Podemos escribir P(X)=(X-n) Q(X), donde Q(X) es otro polinomio de coeficientes enteros. Así, si i es un número entre 1 y k, P(i)=(i-n) Q(i). Alguno de los números consecutivos 1-n, 2-n, ... , k-n es divisible por k: si j-n lo es, entonces P(j) es divisible por k.
Publicar un comentario