Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11
Sean n1 y n2 dos números naturales. Demuestra que la suma √(n1) + 3√(n2) es un número entero o un número irracional.
La expresión √(n1) + 3√(n2) significa la raíz cuadrada del primero de los números más la raíz cúbica del segundo.
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2 comentarios:
Para este problema podemos diferenciar varios casos:
El primero que las dos raices son a su vez un cuadrado y un cubo perfecto, por lo tanto la suma es entera, otro caso es que el primero sea un cuadrado perfecto y el segundo no, en este caso sería irracional, y el caso contrario pasa lo mismo. El último caso es en el que n1 ni n2 no son ni un cuadrado ni un cubo perfecto respectivamente, y en este caso, la suma es irracional.
Siga n natural.Aleshores suposem que sqrt(n) siga racional, existeixen per tant a,b en N, i primers entre si, de manera que sqrt(n)=a/b, quadrem n=(a/b)^2, per tant (a/b)^2 és natural, el que implica que a/b també ho siga, i per tant contradiu la suposició que a i b siguen primers entre si. Per tant l'arrel d'un natural només pot ser natural (si n és quadrat perfecte), o irracional.
Anàlogament per al cub.
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