Aguando el vino
Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009
De una garrafa de 5 litros de vino se saca un litro y se rellena con un litro de agua.
Se mezcla bien, se deja en reposo y al rato se vuelve a sacar un litro de la mezcla pero volvemos a echar un litro de agua, con lo que la garrafa sigue estando llena.
Una hora después volvemos a sacar de la garrafa otro litro de líquido, rellenando la garrafa de agua otra vez.
La pregunta es cuánto vino y cuánta agua queda al final en el recipiente.
¿Hay más vino o más agua?
2 comentarios:
Si tenim 5L de vi, i en llevem un, i n'afegim un d'aigua, és obvi que tenim 5*((4/5)vi+(1/5)aigua), i que llevar un litre i afegir aigua, deixaria: 4*((4/5)vi+(1/5)aigua)+1aigua =16/5Lvi+9/5Laigua= 5*(16/25)vi+(9/25)aigua
Podem seguir amb aquest procediment, per tal de demostrar, per inducció, que la proporció vi/mescla= (4/5)^n, sent n el nombre de dilucions en aquestes condicions que realitzem.
Per a deomostrar-ho, suposarem que és cert, i, prement el valor n-1 i realitzant les operacions anteriors comprovarem que arribem al valor pronosticat per a n.
Per tal d'agilitzar els càlculs, només considerarem allò que afecte al vi:
4*(4/5)^(n-1)vi=4^n/5^(n-1)Lvi= 5*(4/5)^n qed
Per tant cada n dilucions hi ha 5*(4/5)^n litres de vi=4^n/5^(n-1)
En el cas que ens ocupa, n=3, i per tant tenim 4^3/5^2L vi =64/25L, i 61/25 L aigua, per tant, hi ha més vi.
2,56 l. de vino y 2.44 l. de agua (mas vino que agua).(1ª 4 l. vino/1 l. agua)(2ª 3,2 l. vino/ 1,8 l. agua)(3ª 3,2-0,64=2,56 l. vino y 1,8-0,36=2,44 l. agua)
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