Fase autonómica de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013
El abuelo Joan tiene cuatro nietos. Cada uno de ellos es exactamente un año mayor que el que le sigue en edad. Un año, Joan se da cuenta de que sumando las edades de sus cuatro nietos, el resultado es su propia edad, que además es múltiplo de 11.
¿Cuántos años tiene Joan y sus nietos, suponiendo que tiene más de 50 años?
Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14
Sean a y b números positivos. Probar que a + b ≥ √(ab) + √((a2 + b2)/2).
Por si no sabéis interpretar los símbolos de la página web, se trata de probar que la suma de dos números positivos es mayor o igual que la suma de la raíz de su producto más la raíz del promedio de sus cuadrados (también llamada media cuadrática).
XIX Olimpiada de mayo, 2013
¿Es posible escribir una lista de 100 números impares en una fila de forma que la suma de cada cinco números adyacentes sea un cuadrado perfecto y la suma de cada 9 números adyacentes también sea un cuadrado perfecto?
Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)
La figura ABCEFG es una habitación con las esquinas perpendiculares, en la que conocemos las medidas EF (20 metros), AB (10 metros) y que AG = GF. Su área total es de 280 metros cuadrados.
Queremos crear en esta habitación dos espacios de área igual mediante una pared AD, donde D es un punto de la pared EC. Calcula a qué distancia de C se encuentra ese punto.
Fase comarcal de Valencia de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013
Dividimos un cuadrado grande en dos cuadrados más pequeños y dos rectángulos iguales. Las diagonales de los rectángulos miden 13 centímetros, y los perímetros de los dos cuadrados internos son, respectivamente, 20 y 48 centímetros.
Hemos dibujado el conjunto junto a estas líneas para que lo puedas ver. Las diagonales de los rectángulos que hemos dibujado unen dos vértices de los cuadrados internos.
Como vemos en la figura, hemos hecho varias copias de la anterior y hemos sombreado algunas de las zonas internas. Calcula el perímetro y el área de cada una de ellas.
En la primera, rellenamos los dos medios rectángulos que se tocan en un vértice.
En la segunda, rellenamos los dos medios rectángulos que se tocan en un vértice y el cuadrado menor.
En la tercera, el cuadrado mediano, un rectángulo y la mitad del otro que está en contacto con el cuadrado mediano.
En la cuarta, el cuadrado pequeño, un rectángulo y la mitad del otro que está en contacto con el cuadrado pequeño.
Fase nacional de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13
Sean a, b y n enteros positivos tales que a > b y ab - 1 = n^2. Prueba que
a - b ≥ √(4n - 3)
Es decir, que la diferencia entre a y b siempre es mayor o igual que la raíz cuadrada de 4n - 3.
Indica justificadamente cuándo se alcanza la igualdad.
XIX Olimpiada de mayo, 2013
Se marcan varios puntos distintos en un plano, y se trazan todos los segmentos determinados por esos puntos.
Una recta r no pasa por ninguno de los puntos marcados y corta a exactamente 60 de los segmentos que hemos trazado.
¿Cuántos segmentos no están cortados por r?
Dar todas las posibilidades.
Tal vez mi problema favorito de esta convocatoria ¿podrás resolverlo?
Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)
Disponemos de un tablero cuadrado de 64 casillas, cada una de 3 centímetros de lado, y de fichas de damas de 3 centímetros de diámetro.
¿Cuál es el número máximo de fichas que pueden colocarse en el tablero, sin colocar una encima de otra ni traspasar sus bordes?
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