Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
XIX Olimpiada de mayo, 2013
¿Es posible escribir una lista de 100 números impares en una fila de forma que la suma de cada cinco números adyacentes sea un cuadrado perfecto y la suma de cada 9 números adyacentes también sea un cuadrado perfecto?
Publicado por
Proble Mático
a las
22:37
Etiquetas: matematicas, Olimpiada de Mayo, problemas, segundociclo
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2 comentarios:
La sumatoria de n numeros impares que estan en una sucesion aritmetica que tiene como primer termino al 1 siempre son cuadrados perfectos
Demostración
u = a + (n-1)r (1)
S = [(a+u)n]/2 (2)
Formando la sucesion de los numeros impares que tiene como primer termino al 1 con la primera relaciontenemos:
u = 1 + (n-1)2
u = 2n-1
Reemplazando en (2)
S = [(1+(2n-1))n]/2
S = [(1+2n-1)n]/2
S = (2n)n/2
S = (2n^2)/2
S = n^2
Dado que n es natural la sumatoria es un cuadrado perfecto.
Por lo que podemos formar n numeros impares consecutivos que sean cuadrados perfectos
La sumatoria de n numeros impares que estan en una sucesion aritmetica que tiene como primer termino al 1 siempre son cuadrados perfectos
Demostración
u = a + (n-1)r (1)
S = [(a+u)n]/2 (2)
Formando la sucesion de los numeros impares que tiene como primer termino al 1 con la primera relaciontenemos:
u = 1 + (n-1)2
u = 2n-1
Reemplazando en (2)
S = [(1+(2n-1))n]/2
S = [(1+2n-1)n]/2
S = (2n)n/2
S = (2n^2)/2
S = n^2
Dado que n es natural la sumatoria es un cuadrado perfecto.
Por lo que podemos formar n numeros impares consecutivos que sean cuadrados perfectos
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