domingo, 2 de febrero de 2014

Desigualdad con raíces

Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14

Sean a y b números positivos. Probar que a + b ≥ √(ab) + √((a2 + b2)/2).

Por si no sabéis interpretar los símbolos de la página web, se trata de probar que la suma de dos números positivos es mayor o igual que la suma de la raíz de su producto más la raíz del promedio de sus cuadrados (también llamada media cuadrática).

Solución

2 comentarios:

Eduard Pujol Niñerola dijo...

Si a=b, sustituyendo b por a, entonces se cumple la igualdad 2a = raiz( a^2) + raiz ((a^a+a^2)/2)) = a + a = 2a

Si a>b -> ( a - b ) > 0. Multiplicando por ( a - b ) ambos términos de la desigualdad, (a+b)(a-b) > a^2-b^2 = ab - ( a^2+b^2)/2.

Como(a^2+b^2)/2>ab, puesto que a^2+b^2>2ab, el segundo término de la desigualdad es < 0, mientras que a^2-b^2>0 puesto que a>b.

Eduard Pujol Niñerola dijo...

Si a=b, sustituyendo b por a, entonces se cumple la igualdad 2a = raiz( a^2) + raiz ((a^a+a^2)/2)) = a + a = 2a

Si a>b -> ( a - b ) > 0. Multiplicando por ( a - b ) ambos términos de la desigualdad, (a+b)(a-b) > a^2-b^2 = ab - ( a^2+b^2)/2.

Como(a^2+b^2)/2>ab, puesto que a^2+b^2>2ab, el segundo término de la desigualdad es < 0, mientras que a^2-b^2>0 puesto que a>b.