domingo, 26 de enero de 2014

Una lista de 100 números muy peculiar

XIX Olimpiada de mayo, 2013

¿Es posible escribir una lista de 100 números impares en una fila de forma que la suma de cada cinco números adyacentes sea un cuadrado perfecto y la suma de cada 9 números adyacentes también sea un cuadrado perfecto?

Solución

2 comentarios:

Anónimo dijo...

La sumatoria de n numeros impares que estan en una sucesion aritmetica que tiene como primer termino al 1 siempre son cuadrados perfectos
Demostración

u = a + (n-1)r (1)
S = [(a+u)n]/2 (2)

Formando la sucesion de los numeros impares que tiene como primer termino al 1 con la primera relaciontenemos:

u = 1 + (n-1)2
u = 2n-1

Reemplazando en (2)

S = [(1+(2n-1))n]/2
S = [(1+2n-1)n]/2
S = (2n)n/2
S = (2n^2)/2
S = n^2

Dado que n es natural la sumatoria es un cuadrado perfecto.

Por lo que podemos formar n numeros impares consecutivos que sean cuadrados perfectos

Anónimo dijo...

La sumatoria de n numeros impares que estan en una sucesion aritmetica que tiene como primer termino al 1 siempre son cuadrados perfectos
Demostración

u = a + (n-1)r (1)
S = [(a+u)n]/2 (2)

Formando la sucesion de los numeros impares que tiene como primer termino al 1 con la primera relaciontenemos:

u = 1 + (n-1)2
u = 2n-1

Reemplazando en (2)

S = [(1+(2n-1))n]/2
S = [(1+2n-1)n]/2
S = (2n)n/2
S = (2n^2)/2
S = n^2

Dado que n es natural la sumatoria es un cuadrado perfecto.

Por lo que podemos formar n numeros impares consecutivos que sean cuadrados perfectos