Ecuaciones funcionales (II)

Vamos con los otros métodos para trabajar con ecuaciones funcionales.
Por cierto, este manual está traducido y revisado del catalán a partir de un curso de la Sociedad Balear de Matemáticas.

Otra idea que podemos utilizar es buscar los ceros (valores en los que la función da 0), porque se puede simplificar mucho la expresión, o bien lugares donde valga 1, si en la ecuación funcional aparecen productos. Otro punto muy interesante son los puntos fijos, es decir, aquellos en los que f(x) = x.

Como ejemplo para este caso, tengo un problema que me trae muy buenos recuerdos, ya que me lo pusieron en la Olimpiada Internacional del 83. No fui capaz de hacerlo, y hubiera conseguido una medalla de bronce si sólo hubiese podido sacar un par de puntos en él.

Se trata de encontrar todas las funciones f : R+→R+ cuyo límite cuando la x tiende a infinito es cero (es decir, que su valor para x muy grandes es muy pequeño) y que cumplen la ecuación funcional f(xf(y)) = yf(x) para cualquier par de valores x e y.

Evidentemente, lo primero es probar con valores como 1, casos en los que la x y la y coinciden, con lo que obtenemos estos resultados: f(f(x)) = xf(1), f(xf(1)) = f(x), f(xf(x)) = xf(x). Este último resultado es el que sugiere buscar qué valores son puntos fijos, ya que si obtenemos, por ejemplo, que sólo hay uno, pongamos que vale a, sabremos que xf(x) = a, de donde f(x)= a/x.

Además, tenemos que f(f(1)) = f(1), es decir, que f(1) es un punto fijo. Si aplicamos la igualdad a y = f(1) y x = 1 (ya hay que tener imaginación), tenemos que f(1)*f(1) = f(1*f(f(1))) = f(f(f(1))), y por ser f(1) un punto fijo, tenemos que f(f(f(1))) = f(1). Luego f(1)² = f(1), y ese número, por ser positivo, sólo puede ser 1. Es decir, que f(1) = 1, y tenemos que 1 es un punto fijo y -si es el único- la función sería y = 1/x.

El problema, sin embargo, no está acabado ¿puede haber más puntos fijos?
Imagina que a es un punto fijo con a > 1. Aplicando la ecuación, tenemos que a² también es un punto fijo (a*a = a*f(a) = f(a*f(a)) = f(a²)). Sin embargo, eso llevaría a encontrar puntos fijos cada vez más grandes, y no puede ser, por culpa del límite impuesto desde el principio.

Por último, si tenemos un punto fijo b menor que 1, tenemos que 1 = f(1) = f((1/b)*b) = f((1/b)f(b)) = b*f(1/b), por lo que f(1/b) = 1/b, y eso provoca que 1/b, mayor que 1, sería también punto fijo, lo que sabemos que no pasa.

En definitiva, que con estas condiciones, f(x) = 1/x es la única función existente.

Observa que si no exigimos que su tendencia en el infinito sea 0, la función f(x) = x también sería válida, y puede que más funciones también.

Ecuaciones funcionales (I)

Aprovechando el problema anterior, voy a dar durante el verano una pequeña introducción a algunos de los temas que habitualmente salen en los concursos de problemas, dedicado a aquellos alumnos que tengan tiempo en verano para dar un pequeño repaso.

En esta primera ocasión, me voy a dedicar a una interesante familia de problemas, como son la ecuaciones funcionales. Este tipo de problemas sólo aparecen en competiciones de nivel alto, como la Olimpiada Española (nivel bachillerato).

Se trata de problemas en los que el objetivo es caracterizar, o calcular, la fórmula de una función, a partir de una o varias ecuaciones que afectan a valores particulares de la función, y a características como su tendencia, su continuidad, o propiedades similares.

Veamos un ejemplo:

Encuentra todas las funciones de Q en Q (f : Q→Q), que cumplan:

i) f(1) = 2

ii) f(xy) = f(x)f(y) - f(x + y) + 1.

Veamos a continuación algunas ideas para su solución.

- Substituir en las ecuaciones las variables por valores concretos, que tengan alguna importancia en la fórmula (generalmente, 0, 1, un entero cualquiera, el inverso de un entero, un número fraccionario, una raíz cuadrada, si tiene algún sentido...).

- Tratar de calcular algunos valores a partir de otros (inducción). A veces se pueden calcular mediante sumas los enteros, los inversos, las fracciones (y, por continuidad, los irracionales, ya que siempre tienen cerca una fracción).

En nuestro ejemplo, puesto que conocemos f(1) = 2, podemos calcular fácilmente f(2), tomando en la igualdad x = 1, y = 2.

Con un poco de habilidad, podemos determinar que para todo valor entero, se tiene que f(n + 1) = f(n) + 1 (cambiando x = 1, y = n, tenemos que f(n) = 2f(n) - f(n + 1) + 1, de donde se deduce esa igualdad). Por lo tanto, la función entre los enteros es una progresión aritmética de diferencia 1, y su fórmula es f(n) = n + 1.

Ya podemos pasar a los números inversos, de la forma 1/n, con n un entero, con un poco de trabajo, llegamos a probar tras un par de substituciones en la igualdad, que f(1/n) = 1/n + 1, y de ahí, a probar que para cualquier m, n enteros f(m/n) = m/n + 1. De forma que la única función que cumple el enunciado es f(x) = x + 1.

Otra de las formas de atacar el problema es detectar propiedades como la inyectividad (que dos valores distintos tienen imagen distinta) o la exhaustividad (que todo número es imagen de algún valor), que a veces tienen una aplicación en la solución.

Veamos otro ejemplo:

Encuentra todas las soluciones de la ecuación f(f(x)) = 0, sabiendo que f : R→R satisface la ecuación funcional x + f(x) = f(f(x)) para todo x.

Para solucionarlo, veamos que valores diferentes de x e y dan imágenes diferentes, ya que si f(x) = f(y), entonces f(f(x)) = f(f(y)), porque f(x) y f(y) son en realidad el mismo valor, y de la ecuación funcional se deduce que x = f(f(x)) - f(x) = f(f(y)) - f(y) = y.

Por eso, para cada resultado de la función sólo puede haber un valor que lo alcance.

Pero de la ecuación aplicada en el punto 0, deducimos que f(f(0)) = f(0) + 0 = f(0), por lo que tenemos dos puntos que dan el mismo resultado, luego f(0) = 0. De ahí, f(f(0)) = 0, por lo que es solución de la ecuación, y es la única también por la inyectividad.

Creo que esto ha quedado un poco largo. Dejaré para otro día la segunda parte y algunos ejercicios de ejemplo.

Una función con condiciones

Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12

Hallar todas las funciones continuas f : R+→R+ (reales positivas y de variable real positiva), que cumplen, para todo x real positivo, la condición x + 1/x = f(x) + 1/f(x).

Solución: próximamente

Enviando currículms

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

En el departamento de recursos humanos de una empresa, los candidatos a un puesto de trabajo han de contestar dos cuestionarios con el mismo número de preguntas.

Después de hacer los dos cuestionarios, a Josep le han dicho que en el primero había fallado 12 preguntas, y en el segundo había acertado la quinta parte. Si en total, entre las dos pruebas ha acertado el 75% de las preguntas, ¿cuántas preguntas tenía cada uno de los cuestionarios?

Solución: próximamente

Dos gusanitos

Concurso de El Pais, noviembre de 2011

Colina cónica

Dos hermanos gusanitos de seda han discutido quién de los dos llega antes a casa desde un punto que está en la base de una colina. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros. La casa se encuentra en el punto diametralmente opuesto a aquel en el que se encuentran los gusanitos.

Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono.

Sin embargo, ninguno de los dos sabe que en su casa les está esperando una golondrina muerta de hambre que se comerá al primero que llegué. En el instante que el gusanito alegre echa a andar el astuto se pone a calcular la trayectoria óptima, en lo que emplea exactamente 3 minutos. Una vez la tiene empieza su camino.

Suponiendo que los dos gusanos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s, el desafío consiste en determinar quién será la víctima de la golondrina ¿el gusanito alegre o el gusanito astuto?

Para que la respuesta sea considerada correcta habrá que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que han llevado a la conclusión.

Solución: próximamente

Los ángulos del triángulo

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Triángulo dividido

Dentro de cierto triángulo ABC, escogemos un punto concreto D de la base AC, y un punto E del lado BC, que cumplen una curiosa relación.

En la figura resultante, tenemos que AB mide lo mismo que BC y BD mide lo mismo que BE.

Calcula la medida del ángulo x, que forma ED con CD, sabiendo que el ángulo entre BD y BA forma 40 grados.

Solución: próximamente

El gol decisivo

Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Cuatro famosos futbolistas discuten sobre quién fue el autor del último gol que le dio el triunfo a uno de sus equipos.

Andrés dice "Roberto es el autor del gol".

Roberto dice "Cristiano es el autor del gol".

Cristiano dice que Roberto ha mentido al decir que él ha sido el que ha metido el gol.

Leo dice que él no marcó el último gol.

Sabiendo que sólo uno de ellos dice la verdad ¿puedes averiguar quién fue el autor del gol?

Nota: los nombres de los jugadores no guardan ninguan relación con jugadores reales, por supuesto.

Solución: próximamente

Azarosa taba

Concurso de El Pais, octubre de 2011

Si lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz, conseguimos una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:

0 1 0 1 0 1 0 1....

0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1...

dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).

¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?... Por suerte, hemos conseguido unas tabas.

La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.

Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.

El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.

La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.

Solución