lunes, 2 de julio de 2012

Una función con condiciones

Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12

Hallar todas las funciones continuas f : R+→R+ (reales positivas y de variable real positiva), que cumplen, para todo x real positivo, la condición x + 1/x = f(x) + 1/f(x).

Solución: próximamente

8 comentarios:

Alex dijo...

está la solución trivial f(x) = x

ahora me pongo a buscar más

Alex dijo...

Otra solución trivial o casi trivial es f(x) = 1/x

Proble Mático dijo...

Casi has terminado... ahora hay otras dos soluciones que se parecen a esas.
Una pista. ¿qué vale exactamente f(1)?
¿Y f(2)?
Ahora, fíjate que tiene que ser continua...

Alex dijo...

oops! f(x) = 1/x no es continua en x=0

No sé muchas matemáticas. Puedo intentar resolver como si se tratase de una ecuación.

Si multiplico ambas partes por x y también por f(x) para quitar los divisores, queda:

x f(x)² - (x²+1) f(x) + x = 0

(aunque debo tener cuidado al hacer lo anterior cuando x=0 o f(x)=0 , ya que no sé si es incorrecto o pierdo soluciones)

Si ahora intento resolver como si fuera un polinomio de segundo grado -ya digo, no sé si es correcto lo que hago, no sé suficiente de matemáticas- queda:

f(x) = ((x²+1)+-sqrt((x²+1)²-4x²)) / (2x)

f(x) = ((x²+1)+-(x²-1)) / (2x)

Hay dos soluciones

f(x) = 1/x y f(x)=x

pero f(x) = 1/x no es continua.

No sólo no me salen las dos soluciones adicionales que dices, sino que incluso pierdo una solución por no ser continua.

Estoy espeso. A ver si más tarde con las pistas que nos has dado se me ocurre algo

Proble Mático dijo...

Parece que sabes más de lo que tú crees.
La función que buscamos sólo tiene que ser continua para valores positivos.
A lo mejor hay que rectificar algo el enunciado.
¡Se me había olvidado!
si haces una ecuación y calculas f(x) a partir de x, obtienes sólo dos valores, y "parece" que sólo hay esas dos funciones, pero también puedes combinarlas, siempre y cuando haya un punto en el que ambas valen lo mismo...
Por cierto, ahora corrijo lo de que tiene que ser positiva...

Alex dijo...

"pero también puedes combinarlas, siempre y cuando haya un punto en el que ambas valen lo mismo"

La verdad es que esta pista es grandísima, por no decir que ya es directamente la solución. Y mira que le daba vueltas a tus palabras y al principio no caía:

La función también se puede definir por partes, como combinación de las dos anteriores. Como ha de ser continua, hemos de encontrar el punto en que las partes se cruzan o son iguales:

x = 1/x => x=+1 y x=-1

Solo nos interesan funciones en el dominio de los positivos, y piden que sean continuas pero no hace falta que sean deribables, así que encontramos dos funciones más:

la primera:
f(x) = x si x >= 0 y x <=1 ,
f(x) = 1/x si x >= 1

la segunda:
f(x) = 1/x si x >= 0 y x <=1 ,
f(x) = x si x >= 1

Gracias por la ayuda. He pasado un buen rato.

resolviendo dijo...

¿Te refieres a definirlas a trozos, verdad?
Algo así:
f(x)= x si 0=1

así como:
f(x)= 1/x si 0=1

Ambas son contínuas y cumplen la condición (porque la cumplen sus "trozos").
¿Cuál es la explicación de que algebraicamente no nos salgan estas funciones? Bueno, creo que en realidad sí nos salen, las soluciones de la ecuación se refieren a puntos, no a funciones, y es cierto que cualquier punto cumple una de las dos condiciones.
He intentado resolverlo utilizando la función g(x)=x+1/x y calculando su inversa pero por ahí no he llegado a nada...

Proble Mático dijo...

Porque tratas de encontrar una única respuesta a todo. Hay que pensar punto por punto, y después trabajar la continuidad.