sábado, 28 de julio de 2012

Ecuaciones funcionales (II)

Vamos con los otros métodos para trabajar con ecuaciones funcionales.
Por cierto, este manual está traducido y revisado del catalán a partir de un curso de la Sociedad Balear de Matemáticas.

Otra idea que podemos utilizar es buscar los ceros (valores en los que la función da 0), porque se puede simplificar mucho la expresión, o bien lugares donde valga 1, si en la ecuación funcional aparecen productos. Otro punto muy interesante son los puntos fijos, es decir, aquellos en los que f(x) = x.

Como ejemplo para este caso, tengo un problema que me trae muy buenos recuerdos, ya que me lo pusieron en la Olimpiada Internacional del 83. No fui capaz de hacerlo, y hubiera conseguido una medalla de bronce si sólo hubiese podido sacar un par de puntos en él.

Se trata de encontrar todas las funciones f : R+→R+ cuyo límite cuando la x tiende a infinito es cero (es decir, que su valor para x muy grandes es muy pequeño) y que cumplen la ecuación funcional f(xf(y)) = yf(x) para cualquier par de valores x e y.

Evidentemente, lo primero es probar con valores como 1, casos en los que la x y la y coinciden, con lo que obtenemos estos resultados: f(f(x)) = xf(1), f(xf(1)) = f(x), f(xf(x)) = xf(x). Este último resultado es el que sugiere buscar qué valores son puntos fijos, ya que si obtenemos, por ejemplo, que sólo hay uno, pongamos que vale a, sabremos que xf(x) = a, de donde f(x)= a/x.

Además, tenemos que f(f(1)) = f(1), es decir, que f(1) es un punto fijo. Si aplicamos la igualdad a y = f(1) y x = 1 (ya hay que tener imaginación), tenemos que f(1)*f(1) = f(1*f(f(1))) = f(f(f(1))), y por ser f(1) un punto fijo, tenemos que f(f(f(1))) = f(1). Luego f(1)2 = f(1), y ese número, por ser positivo, sólo puede ser 1. Es decir, que f(1) = 1, y tenemos que 1 es un punto fijo y -si es el único- la función sería y = 1/x.

El problema, sin embargo, no está acabado ¿puede haber más puntos fijos?
Imagina que a es un punto fijo con a > 1. Aplicando la ecuación, tenemos que a2 también es un punto fijo (a*a = a*f(a) = f(a*f(a)) = f(a2)). Sin embargo, eso llevaría a encontrar puntos fijos cada vez más grandes, y no puede ser, por culpa del límite impuesto desde el principio.

Por último, si tenemos un punto fijo b menor que 1, tenemos que 1 = f(1) = f((1/b)*b) = f((1/b)f(b)) = b*f(1/b), por lo que f(1/b) = 1/b, y eso provoca que 1/b, mayor que 1, sería también punto fijo, lo que sabemos que no pasa.

En definitiva, que con estas condiciones, f(x) = 1/x es la única función existente.

Observa que si no exigimos que su tendencia en el infinito sea 0, la función f(x) = x también sería válida, y puede que más funciones también.

5 comentarios:

Anónimo dijo...

Me encantan tus entradas en el blog.
¿Pondrás más sobre ecuaciones funcionales o esta es la última entrada?

Proble Mático dijo...

Me quedan un par más, pero estoy retocándolas...

Alex dijo...

Me ha surgido una duda de matemáticas cuando intentaba solucionarlo por mi cuenta. (concretamente cuando busco que pasa en los puntos 1 y 0)

Es una duda básica. Supongo que les surge a los chicos de ESO o bachillerato.

cuando tengo la ecuación

f(0) = y f(0)

tengo la solución trivial y = 1 . Pero supongamos que lo que me interesa es encontrar las f(0) que también hacen posible la ecuación.

En BUP me enseñaron que f(0) = 0 seria la otra solución a tener en cuenta. Yo no sabía que podían existir más. Sin embargo en el problema que has puesto 1/0 también es solución. Eso yo no lo sabía.

Es decir, que ante una ecuación, por ejemplo como

x = y x

las soluciones pueden ser

y = 1
x = 0
x = infinito

¿es correcta esta última solución?

Proble Mático dijo...

Es correcta hasta cierto punto. Si te das cuenta, hay un detalle al principio, y es que la función es de R+ en R+, es decir, no se aplica sobre 0 (entre otras cosas, porque tendría que tener valor 0, o infinito). Es decir, que f(0) no se pide.
Si lo quieres calcular, a pesar de todo, puede ser 0 o no existir, porque se supone que infinito no es un valor válido. Sin embargo, si admitimos infinito como número posible (se llama recta real ampliada), entonces tendría cierto sentido. Lo que pasa es que es un número un poco raro, por las propiedades que tiene.
¿Contesta esto tu pregunta?

Alex dijo...

S'i contesta. Gracias.

Saludo desde Ciudad del Cabo, donde ahora es invierno, aunque no hace mucho fr'io.