domingo, 1 de febrero de 2015

Circunferencia entre dos rectas

Segundo problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Sean r y s dos rectas paralelas y A un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto B de la recta r, sea C el punto de la recta s tal que el ángulo BAC mide 90 grados, y sea P el pie de la perpendicular desde A sobre la recta BC.

Demuestra que, independientemente de qué punto B de la recta r tomemos, el punto P está sobre una circunferencia fija.

Solución

3 comentarios:

Danny10orama@gmail.com dijo...

Me he valido de una imagen para la demostración: http://i.imgur.com/8kiDVLX.png
Sea el segmento MN el que pasa por A y corta perpendicularmente a las rectas r y s en los puntos M y N, respectivamente. Notar que las distancias (MA) y (NA) son iguales.
Primeramente, se intentará establecer una relación entre la distancia (NA) fija y las distancias (MB) y (NC) variables.
Para ello, fijarse en la Figura 1. En ella, se proyecta el segmento BA hasta cortar la recta s en el punto B'. Es evidente que (MB)=(NB') por congruencia de triángulos. Por teorema de la altura, se tiene que:
(NA)^2 = (NB')*(NC) = (MB)*(NC)
Ahora bien, en la Figura 2 está la construcción del enunciado. Demostraremos que la distancia (AP) solo depende de la distancia entre el punto A y cualquiera de las rectas.
Para ello, recurrimos al teorema de la altura que establece que:
(AP)=(AB)*(AC)/(CB)
Por otra parte, por teorema de Pitágoras:
(AB)^2 = (MA)^2 + (MB)^2
(AC)^2 = (NA)^2 + (NC)^2
Utilizando la relación demostrada anteriormente, se concluye:
(AB)^2 = (MB)[(NC)+(MB)]
(AC)^2 = (NC)[(NC)+(MB)]
Por otra parte,
(CB)^2 = (AB)^2 + (AC)^2
(CB)^2 = (MA)^2 + (MB)^2 + (NA)^2 + (NC)^2
(CB)^2 = (NC)^2 + 2(NC)(MB) + (MB)^2 (por la relación anterior y que (MA)=(NA))
(CB)^2 = [(NC)+(MB)]^2
De esta manera,
(AP)^2 = (AB)^2*(AC)^2/(CB)^2 = [(MB)*(NC)]^2 = (NA)^2
(AP) = (NA)
Dado que (NA) es una distancia fija: para cualquier punto B de r, la distancia de A a P es fija; y por lo tanto, el punto P siempre pertenece a la circunferencia de centro en A y radio (NA).
Saludos :)

lameuamusica dijo...

Acabe de veure que hi ha solució.
La meua, pràcticament és la mateixa.
¿Puc enviar-la amb format doc?

Salutacions!

Proble Mático dijo...

Creo que no te la va a dejar publicar, si quieres envíamela al correo (problemate en gmail.com) y si puedo, te la escaneo y la incorporo.