miércoles, 11 de febrero de 2015

Torneo de baloncesto

Tercer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Un campeonato de baloncesto se ha jugado por sistema de liga a dos vueltas (cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido acaba en empate hay prórrogas hasta que gane uno de los dos).

El ganador del partido obtiene 2 puntos y el perdedor 1 punto.

Al final del campeonato, la suma de de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón es de 2015 puntos.

¿Cuántos partidos ha ganado el campeón?

Solución

2 comentarios:

Danny10orama@gmail.com dijo...

Mi solución es, sin duda, menos elegante que la publicada; sin embargo, me gustaría compartirla de todas maneras:
Sea n el número de equipos en competencia. El número de partidos serían las combinaciones de n en 2 multiplicado por 2, puesto que son dos partidos por pareja de equipos:
2*(nC2) = n(n-1)
En cada partido se reparten 3 puntos, luego la suma de total de puntos una vez concluidos todos los encuentros será 3n(n-1).
Por otra parte, el campeón habrá jugado 2(n-1) partidos; suponiendo que ha ganado k partidos, entonces su puntaje final será:
2k + (2(n-1)-k) = k+2n-2
Luego, del enunciado tenemos que:
3n(n-1) - (k+2n-2) = 2015
k = 3n^2 - 5n - 2013
Lo cual es una ecuación de segundo grado con respecto a n.
Notemos en un comienzo que tanto n como k deben ser enteros positivos. Además, como k son los partidos ganados por el campeón, deben ser menor o igual que el total de partidos jugados por el campeón: 2(n-1).
Por lo tanto, tenemos las restricciones: n,k∈Z n>0 0≤k≤2(n-1).
Por una parte, resolviendo para n>0 0≤k, se llega a:
n ≥ (5+√Δ)/6
Por otra parte, resolviendo para n>0 k≤2(n-1), se tiene que:
0 ≤ n ≤ (7+√Δ)/6
Donde, en ambos casos, Δ=24181.
Combinando ambos resultados y aproximando los valores, se tiene que:
26,7 ≤ n ≤ 27,1
En vista de que n debe ser un número entero, debe ser 27 y por lo tanto el número de victorias del campeón k es igual a 39.
A pesar de que se llega a la solución correcta, resolver las ecuaciones de segundo grado y aproximar los valores puede resultar muy tedioso.
Saludos!

Proble Mático dijo...

Sí, sobre todo teniendo en cuenta que en la Olimpiada Española no se les permite el uso de calculadoras.
Es una buena idea, pero cuando vemos que los números se hacen tan grandes, hay que buscar atajos.