jueves, 12 de febrero de 2015

Un producto de números enteros

Cuarto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Los enteros positivos x, y, z cumplen las dos igualdades siguientes:

x + 2y = z

x2 - 4y2 + z2 = 310

Halla todos los posibles valores del producto xyz.

Solución

1 comentario:

Danny10orama@gmail.com dijo...

De la primera igualdad se tiene que:
x+2y-z=0
Ahora la idea es intentar construir la expresión de la segunda igualdad utilizando el resultado anterior.
Una forma podría ser calculando el siguiente producto:
(x+2y-z)(x-2y-z) = x^2 -4y^2 + z^2 - 2xz
Como uno de los factores del lado izquierdo es cero, entonces:
0 = (x^2 -4y^2 + z^2) - 2xz
0 = 310 - 2xz
xz = 155
En vista de que x, z son enteros positivos, buscamos la factorización de 155 en factores primos:
xz = 155 = 5*31
Luego, hay cuatro posibilidades que analizar: (x=5 z=31), (x=31 z=5), (x=1 z=155) o (x=155 z=1).
Al reemplazar los segundos y los cuartos valores en la primera igualdad se obtienen y=-13 e y=-77, respectivamente, por lo tanto se descartan ya que y es un entero positivo.
Reemplazando la primera y tercera posibilidad, se llega a y=13 e y=77, respectivamente.
Por lo tanto, de (x=5 y=13 z=31) se tiene que xyz=2015; por otra parte, de (x=1 y=77 z=155) se tiene que xyz=11935; los cuales serían los dos posibles valores del productos xyz.
Saludos :)